Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

Решение

$$O$$ — точка пересечения медиан треугольника $$\triangle ABC$$. $$BK$$ — медиана из вершины $$B$$. Продолжим ее на отрезок, равный $$OK$$, то есть $$KD=OK$$. Получили параллелограмм $$AOCD$$, значит $$AO=DC$$. Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении $$2:1$$, начиная от вершины, то стороны $$\triangle OCD$$ равны $$\frac{2}{3}$$ сторон треугольника, составленного из медиан $$\triangle ABC$$. Значит искомый треугольник подобен $$\triangle OCD$$ с коэффициентом подобия $$\frac{3}{2}$$, а его площадь $$S$$ равна $$\frac{9}{4}$$ площади $$\triangle OCD$$, то есть $$S=\frac{9}{4}S_{\triangle OCD}$$.

С другой стороны треугольник $$\triangle OCD$$ состоит из двух, а треугольник $$\triangle ABC$$ из шести треугольников, равновеликих (с такой же площадью) $$\triangle CKD$$.

Значит $$S_{\triangle OCD}=\frac{2}{6}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$$

Тогда $$S=\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}$$

Так как площадь $$S_{\triangle ABC}=4$$, то $$S=3$$

Ответ: 3.

Поделиться

Больше заданий

Связь между площадями фигур (задача 5 класса)

Решение на основе знаний учеников 5 класса о площадях квадрата и треугольника..

Задание 1 (произведение, транспонирование и сумма матриц)

Рекомендуем ознакомиться с теоретическими материалами по линейной алгебре: элементы теории матриц. Найти значение выражения $$A^2B-2B+C^{T},$$ если

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду. Розв’язування. Згадаємо теорію: Рівняння кривих другого...

Задание 44 (текстовая задача)

1 и 2 краны наполняют ванну водой за 20 мин, 2 и 3 - за 15 мин, а 1 и 3 - за 12 мин. За сколько минут наполняют такую же ванну три крана, работая вместе?

Задание 9 (Геометрия. Тригонометрия. Прогрессии)

Может ли существовать прямоугольный треугольник, у которого синусы углов образуют арифметическую прогрессию? Решение: Очевидно, что...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

33 задание ЗНО 2014

Решение 33 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

31 задание ЗНО 2014

Решение 31 задания ЗНО 2014 по математике..

Задание №26 ЗНО 2014

Решение 26 задания ЗНО 2014 по математике..

23 задание ЗНО 2014

Решение 23 задания ЗНО 2014 по математике..

Задание №19 ЗНО 2014

Решение 19 тестового задания ЗНО 2014 по математике..