Задание 60 (система с параметром)

Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

Решение

ОДЗ: $$x\neq 0$$

$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a \\ y=\frac{a}{x}+1 \end{matrix}\right.$$

Левые части равны, приравняем правые части

$$x^2+a=\frac{a}{x}+1$$

$$x^2-\frac{a}{x}+a-1=0$$

$$x^3+(a-1)x-a=0$$

Очевидно, что корнем данного уравнения является $$x=1$$

$$1^3+(a-1)\cdot1-a=0$$

$$0=0$$ — верно

Воспользовавшись схемой Горнера получим:

$$(x-1)(x^2+x+a)=0$$

Решим $$x^2+x+a=0$$

$$D=1-4a$$

При $$D=0$$, т.е. при $$a=\frac{1}{4}$$ — два совпадающих действительных корня $$x=-\frac{1}{2}$$

И система имеет 2 решения: $$x=1$$ и $$x=-\frac{1}{2}$$

При $$D \gt 0$$, т.е. при $$0 \neq a \lt \frac{1}{4}$$ — два различных действительных корня $$x=-\frac{1}{2} \pm\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$

И система имеет три решения: $$x=1$$, $$x=-\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$ и $$x=-\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$

При $$D < 0$$, т.е. при $$a > \frac{1}{4}$$ уравнение не имеет действительных корней и система имеет одно решение $$x=1$$

При $$a=0$$ система имеет два решения $$x=1$$ и $$x=-1$$

Итак, система имеет

  1. одно решение при $$a\in(\frac{1}{4};\infty)$$
  2. два решения при $$a=0$$ и $$a=\frac{1}{4}$$
  3. три решения при $$a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac{1}{4})$$

Поделиться

Больше заданий

Задание 12 (нахождение производных)

Найти производную Перед тем, как приступить к решению задания, рекомендуем ознакомиться с таблицей производных, основными правилами дифференцирования, нахождением производной...

Задание 10 (Графики)

Построить график функции: $$y=sqrt{1+tg^2x}cdotcos xcdotsqrt{|x|}$$ Решение: Преобразуем исходную функцию:

Задание 28 (корни и степени)

Задание на упрощение выражения. Применение свойств корней и степеней.

Задание 18 (расстояние от точки до прямой)

Найти расстояние от точки $$M(1;2)$$ до прямой $$20x-21y-58=0$$. Советуем повторить пройденный материал. Решение:

Задание 61 (уравнение с параметром)

Найдите все значения параметра $$p$$, при которых все корни уравнения $$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны.

Материалы по теме

Задание 61 (уравнение с параметром)

Найдите все значения параметра $$p$$, при которых все корни уравнения $$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны.

34 задание ЗНО 2014

Решение 34 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Тест «Целые уравнения» с выбором ответа

Оцените, насколько Вы готовы к ДПА и ЗНО по математике, пройдя онлайн тест "Целые уравнения" с выбором ответа.

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 33 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 33 задание...

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 33 задание

Знайдіть значення параметра $$a,$$ при якому корінь рівняння $$lg(sin 5pi x)=sqrt{16+a-x}$$ належить...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок 33 завдання

Решение 33 тестового задания пробного ВНО (ЗНО) 2013 по математике...

ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 29-32

Решение тестовых заданий 29-32 2 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...

ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 31-36]

Задание 31 Використовуючи графік рівняння $$|y|=1-|x-12|$$ (див. рисунок),...

ВНО 2011 по математике [задания 29-35]

Задание 29 Обчисліть значення виразу $$frac{3sqrt{2}-5}{sqrt{2}-1}+frac{sqrt{24}-sqrt{300}}{sqrt{3}}.$$.

ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 21-32]

Решение тестовых заданий 21-32 1 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...