Задание 60 (система с параметром)

Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

Решение

ОДЗ: $$x\neq 0$$

$$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a \\ y=\frac{a}{x}+1 \end{matrix}\right.$$

Левые части равны, приравняем правые части

$$x^2+a=\frac{a}{x}+1$$

$$x^2-\frac{a}{x}+a-1=0$$

$$x^3+(a-1)x-a=0$$

Очевидно, что корнем данного уравнения является $$x=1$$

$$1^3+(a-1)\cdot1-a=0$$

$$0=0$$ — верно

Воспользовавшись схемой Горнера получим:

$$(x-1)(x^2+x+a)=0$$

Решим $$x^2+x+a=0$$

$$D=1-4a$$

При $$D=0$$, т.е. при $$a=\frac{1}{4}$$ — два совпадающих действительных корня $$x=-\frac{1}{2}$$

И система имеет 2 решения: $$x=1$$ и $$x=-\frac{1}{2}$$

При $$D \gt 0$$, т.е. при $$0 \neq a \lt \frac{1}{4}$$ — два различных действительных корня $$x=-\frac{1}{2} \pm\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$

И система имеет три решения: $$x=1$$, $$x=-\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$ и $$x=-\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{1-4a}$$

При $$D < 0$$, т.е. при $$a > \frac{1}{4}$$ уравнение не имеет действительных корней и система имеет одно решение $$x=1$$

При $$a=0$$ система имеет два решения $$x=1$$ и $$x=-1$$

Итак, система имеет

  1. одно решение при $$a\in(\frac{1}{4};\infty)$$
  2. два решения при $$a=0$$ и $$a=\frac{1}{4}$$
  3. три решения при $$a\in (-\infty;0)\cup(0;\frac{1}{4})$$

Поделиться

Больше заданий

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду; Формули скороченого...

Задание 54 (вторая производная от дроби)

Нахождение второй производной для дробного выражения

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 16 (угол между прямыми)

Найти угол между прямыми $$y-2x-5=0$$ и $$y+3x-1=0.$$ Перед тем, как приступить к решению задания, рекомендуем повторить теоретический материал.

Задание 24 (текстовая задача на движение)

Предлагаем Вашему вниманию текстовую задачу на движение (по воде) в рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике.

Материалы по теме

Задание 61 (уравнение с параметром)

Найдите все значения параметра $$p$$, при которых все корни уравнения $$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны.

34 задание ЗНО 2014

Решение 34 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Тест «Целые уравнения» с выбором ответа

Оцените, насколько Вы готовы к ДПА и ЗНО по математике, пройдя онлайн тест "Целые уравнения" с выбором ответа.

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 33 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 33 задание...

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 33 задание

Знайдіть значення параметра $$a,$$ при якому корінь рівняння $$lg(sin 5pi x)=sqrt{16+a-x}$$ належить...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок 33 завдання

Решение 33 тестового задания пробного ВНО (ЗНО) 2013 по математике...

ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 29-32

Решение тестовых заданий 29-32 2 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...

ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 31-36]

Задание 31 Використовуючи графік рівняння $$|y|=1-|x-12|$$ (див. рисунок),...

ВНО 2011 по математике [задания 29-35]

Задание 29 Обчисліть значення виразу $$frac{3sqrt{2}-5}{sqrt{2}-1}+frac{sqrt{24}-sqrt{300}}{sqrt{3}}.$$.

ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 21-32]

Решение тестовых заданий 21-32 1 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...