Многочлены

Одночленом (мономом) называется выражение вида $$A \cdot x^{\alpha} \cdot y^{\beta} \cdot z^{\gamma}\cdot\ldots$$,

где $$\alpha,\beta,\gamma,\ldots\in\mathbb{Z}_{+},\alpha+\beta+\gamma+\ldots$$ — степень одночлена.

Т.е. одночленом называется рациональное выражение, содержащее относительно входящих в него букв только два действия: умножение и возведение в целую положительную степень. Одночленом также считается любая константа (каждое отдельное число), причём степень такого одночлена равна нулю.

Многочленом (полиномом) называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

$$P(x)=P_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^i=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\ldots+a_{n}x^n,\;a_{n}\neq0,\;n\in\mathbb{Z}_{+}$$ — многочлен n-й степени, упорядоченный по возрастающим степеням.

$$P_{n}(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0},\;a_{n}\neq0,\;n\in\mathbb{Z}_{+}$$ — многочлен n-й степени, упорядоченный по убывающим степеням.

$$x_0$$ называется корнем многочлена $$P(x),$$ если $$P(x_{0})=0.$$

Если одночлены равны или отличаются только коэффициентами, то они называются подобными. Замена алгебраической суммы подобных членов одним, тождественно равным этой сумме, называется приведением подобных членов.

Деление многочленов:

  1. Упорядочить многочлены по степеням (одинаковое упорядочивание).
  2. Делим первый член делимого на первый член делителя и получаем первый член частного.
  3. Умножаем делитель на полученный член частного. Данное произведение вычитаем из делимого и получаем остаток.
  4. Если остаток равен нулю, то деление окончено. Если не равен, то делим первый член остатка на первый член делителя и получаем следующий член частного. Умножаем на него делитель и вычитаем полученное произведение из остатка.
  5. Повторяем пункт 4 до тех пор, пока в остатке не получим нуль (деление нацело) или пока первый член очередного остатка не будет делиться на первый член делителя (деление с остатком)

Пример:

$$\frac{-23x+6x^5-5x^3+41x^2+x^4}{2x^3+7-x+3x^2}=?$$

$$\frac{6x^5+x^4-5x^3+41x^2-23x}{2x^3+3x^2-x+7}=3x^2-4x+5+\frac{x^2+10x-35}{2x^3+3x^2-x+7}$$ — деление с остатком.

$$\frac{x^5+6x^4+4x^3-4x^2+x-1}{x^2+x-1}=?$$

$$\frac{x^5+6x^4+4x^3-4x^2+x-1}{x^2+x-1}=x^3+5x^2+1$$ — деление нацело.

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена $$P(x)$$ на двучлен $$(x-a)$$ равен $$P(a).$$

Следствия:

  1. Число $$a$$ является корнем $$P(x)$$ тогда и только тогда, когда $$P(x)$$ делится нацело на двучлен $$(x-a).$$
  2. Целыми корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть лишь делители свободного члена в многочлене (если старший коэффициент многочлена равен единице, то все рациональные корни являются и целыми).

Схема Горнера (метод Горнера, правило Горнера) — алгоритм вычисления значения полинома (многочлена) при заданном значении неизвестной (переменной). Правило Горнера позволяет найти корни полинома, а также вычислить производные многочлена в заданной точке. Метод Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на двучлен $$(x-a).$$

Пример:

Рассмотрим метод Горнера при делении многочлена $$P(x)=x^3-4x^2+2x+4$$ на двучлен $$x-2.$$

Решение:

Составим таблицу, состоящую из двух строк. В первую строку, начиная со второй ячейки, запишем коэффициенты полинома $$P(x)=x^3-4x^2+2x+4$$ по убыванию степеней неизвестной. В первую ячейку второй строки впишем $$a=2.$$

$$1$$ $$-4$$ $$2$$ $$4$$
$$2$$

Начнем заполнять пустые ячейки второй строки. Во вторую ячейку запишем 1 (просто переносим ее из второй ячейки первой строки). В третью ячейку запишем $$2\cdot1-4=-2$$ (во второй строке берем числа из первой и второй ячеек, находим их произведение и складываем его с числом из третьей ячейки первой строки), в четвертую записываем $$2\cdot(-2)+2=-2$$ (во второй строке берем числа из первой и третьей ячеек, находим их произведение и складываем его с числом из четвертой ячейки первой строки), аналогично в пятую записываем $$2\cdot(-2)+4=0.$$

$$1$$ $$-4$$ $$2$$ $$4$$
$$2$$ $$1$$ $$-2$$ $$-2$$ $$0$$

Числа второй строки (кроме первого и последнего) являются коэффициентами многочлена, полученного после деления многочлена $$P(x)=x^3-4x^2+2x+4$$  на двучлен $$x-2,$$ а последнее число второй строки — остатком от деления. В нашем случае получили: $$x^3-4x^2+2x+4=(x-2)(x^2-2x-2)+0$$ или $$x^3-4x^2+2x+4=(x-2)(x^2-2x-2)$$ — деление нацело.

Разложение многочленов на множители:

Если многочлен может быть разложен на множители (представлен в виде произведения двух или большего числа многочленов), то он называется приводимым (разложимым) на множители многочленов, иначе — неприводимым (неразложимым).

Основные способы разложения многочленов на множители:

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

Теги: