Производная сложной функции

Определение

Сложная функция – это функция (внешняя функция), аргументом которой является другая функция (внутренняя функция).

Строгое определение

Пусть функция $$x=\phi(t)$$ определена на множестве $$T$$ и $$X$$ – множество значений данной функции. Пусть множество $$X$$ является областью определения функции $$y=f(x).$$ Поставим  в соответствие каждому $$t\in T$$ число $$f[\phi(t)].$$ Тем самым на множестве $$T$$ будет задана функция $$y=f[\phi(t)].$$ Ее называют сложной функцией или композицией (суперпозицией) функций.

Здесь $$y=f(x)$$ — внешняя функция, а $$x=\phi(t)$$ — внутренняя функция.

Теорема

Если функция $$x=\phi(t)$$ имеет производную в точке $$t\in T,$$ а функция $$y=f(x)$$ имеет производную в точке $$x\in X,$$ то сложная функция $$y=f[\phi(t)]$$ имеет производную (по $$t$$) в точке $$t$$ и справедливо равенство $$y^{\prime}_t=y^{\prime}_x x^{\prime}_t=f'(x)\phi^{\prime}(t).$$

Нахождение производной сложной функции сравнимо с извлечением матрешек. Сначала находится производная внешней функции (открывается большая матрешка). Она умножается на производную более внутренней функции (матрешка чуть меньше), которая, в свою очередь, умножается на производную еще более внутренней функции (еще меньшая матрешка) и так далее (самая маленькая матрешка). При нахождении производных функций, входящих в сложную функцию, пользуются правилами дифференцирования и таблицей производных.

Рассмотрим нахождение производной суперпозиции функций (сложной функции) на примерах.

Примеры

1. Найти производную сложной функции $$y=\arccos(\ln\sqrt{1+x^2}).$$

$$\arccos$$ — внешняя функция;

$$\ln$$ — более внутренняя функция;

$$\sqrt{}$$ — еще более внутренняя функция;

$$1+x^2$$ — самая внутренняя функция.

$$y^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-\ln^2\sqrt{1+x^2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x$$

После элементарных преобразований получим

$$y^{\prime}=-\frac{2x}{(1+x^2)\sqrt{4-\ln^2(1+x^2)}}$$

2. Найти производную сложной функции $$y=x[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]$$

$$\sin,\;\cos$$ — внешние функции;

$$\ln$$ — внутренняя функция.

$$y^{\prime}=x^{\prime}\cdot[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]+x\cdot[\sin(\ln x)-\cos(\ln x)]^{\prime}=$$

$$=\sin(\ln x)-\cos(\ln x)+x\cdot\left [\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}-(-\sin(\ln x))\cdot\frac{1}{x} \right ]=$$

$$=\sin(\ln x)-\cos(\ln x)+\cos(\ln x)+\sin(\ln x)=2\sin(\ln x)$$

Поделиться

Больше материалов

Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение

Для разных углов: Сумма синусов есть удвоенное произведение синуса полусуммы на косинус полуразности: $$sin x+sin...

Тригонометрические функции суммы и разности углов

Синус суммы углов: $$sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y$$ Синус разности углов:

Многочлены

Одночлены. Многочлены. Деление многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочленов на множители.

Степени и корни. Их свойства

$$a^x$$ называется степенью с основанием $$a$$ и показателем $$x,$$ если $$a$$ перемножается само на себя $$x$$ разСвойства степеней:

Основные свойства и правила интегрирования

Основные свойства и правила Производная от неопределенного интеграла есть подынтегральная функция $$left ( int f(x),dx right...

Материалы по теме

Задание №20 ЗНО 2014

Решение 20 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Задание 54 (вторая производная от дроби)

Нахождение второй производной для дробного выражения

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 18 задание

Найдите производную функции $$y=e^{-2x}.$$ А. $$y$$'$$=e^{-2x}$$

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 31 задание

На рисунку зображено графік функції $$F(x)=x^2+bx+c,$$ яка є первісною для функції $$f(x).$$...

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование (2 способа). Параметрическое дифференцирование. Примеры.

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Задание 13 (нахождение наибольшего и наименьшего значения функции)

Задание Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=-8x^6+9x^4-2x^2-3$$...

Задание 12 (нахождение производных)

Найти производную Перед тем, как приступить к решению задания,...