Правила дифференцирования. Таблица производных. Геометрический и физический смыслы производной

Определение

Производной функции $$y=f(x)$$ в точке $$x$$ называется предел отношения приращения функции $$\Delta y$$ к приращению $$\Delta x$$ аргумента $$x,$$ когда приращение аргумента стремится к нулю.

$$y^{\prime}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Основные правила дифференцирования

  1. Производная от алгебраической суммы функций есть алгебраическая сумма производных: $$\left ( f(x)\pm g(x)\pm h(x) \right )^{\prime}=f'(x)\pm g^{\prime}(x)\pm h^{\prime}(x).$$
  2. Производная от произведения двух функций есть произведение производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции: $$(u\cdot v)^{\prime}=u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime},\;u=u(x),\;v=v(x).$$
  3. Постоянное число (константу) можно вынести за знак производной: $$\left ( c f(x) \right )^{\prime}=cf^{\prime}(x),\;c=const.$$
  4. Производная от частного двух функций есть отношение разности произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя к знаменателю в квадрате: $$\left ( \frac{u}{v} \right )^{\prime}=\frac{u^{\prime}\cdot v-u\cdot v^{\prime}}{v^2},\;u=u(x),\;v=v(x)\neq0.$$

Таблица производных

Функция  $$y$$

Производная  $$y^{\prime}$$

$$c=const$$0
$$x^n$$$$nx^{n-1},\;n\in \mathbb{R}$$
$$a^x$$$$a^x\ln a,\;a>0,\;a\neq1$$
$$e^x$$$$e^x$$
$$\log_a x$$$$\frac{1}{x\ln a},\;a>0,\;a\neq1$$
$$\ln x$$$$\frac{1}{x}$$
$$\sin x$$$$\cos x$$
$$\cos x$$$$-\sin x$$
$$\text{tg}\, x$$$$\frac{1}{\cos^2x}$$
$$\text{ctg}\, x$$$$-\frac{1}{\sin^2x}$$
$$\arcsin x$$$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\arccos x$$$$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\text{arctg}\, x$$$$\frac{1}{1+x^2}$$
$$\text{arcctg}\, x$$$$-\frac{1}{1+x^2}$$

Геометрический смысл производной

Для любых двух точек $$A(x_0;f(x_0))$$ и $$B(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x))$$ графика функции $$y=f(x)$$ имеет место $$\text{tg}\,\alpha=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},$$ где $$\alpha$$ — угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то $$\Delta x$$ неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.

Производная $$f^{\prime}(x_0)$$ функции $$y=f(x)$$ в точке $$x_0$$ равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции

$$y-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$$

Физический смысл производной

Пусть материальная точка движется по координатной прямой, подчиняясь закону $$x=x(t),$$ т.е. координата этой точки $$x$$ – известная функция времени $$t.$$

Физический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть мгновенная скорость: $$v(t)=x^{\prime}_t$$

Поделиться

Больше материалов

Свойства обратных тригонометрических функций

Так как геометрически значение обратной тригонометрической функции связано с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному...

Прогрессии

Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия - последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть сумма предыдущего члена и...

Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида $$y=kx+b,$$ где $$k$$ и $$b$$ - числа. Такая функция определена при любых значения переменной $$x.$$

Синусоида

Рассмотрим тригонометрическую функцию $$y=sin x.$$ Функция синус определена при любом $$x,$$ то есть область определения есть множество $$mathbb{R}$$ всех...

Материалы по теме

Задание №20 ЗНО 2014

Решение 20 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Задание 54 (вторая производная от дроби)

Нахождение второй производной для дробного выражения

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 18 задание

Найдите производную функции $$y=e^{-2x}.$$ А. $$y$$'$$=e^{-2x}$$

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 31 задание

На рисунку зображено графік функції $$F(x)=x^2+bx+c,$$ яка є первісною для функції $$f(x).$$...

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование (2 способа). Параметрическое дифференцирование. Примеры.

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Производная сложной функции

Определение Сложная функция – это функция (внешняя функция),...

Задание 13 (нахождение наибольшего и наименьшего значения функции)

Задание Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=-8x^6+9x^4-2x^2-3$$...

Задание 12 (нахождение производных)

Найти производную Перед тем, как приступить к решению задания,...