Задание 54 (вторая производная от дроби)

Нахождение второй производной для дробного выражения

Найти вторую производную от $$\frac{\sqrt{x}}{x^2+4}$$

Решение

Повторите основные правила дифференцирования

Сначала найдем первую производную, пользуясь формулой производной дробного выражения

$$(\frac{\sqrt{x}}{x^2+4})$$’$$=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(x^2+4)-\sqrt{x}\cdot 2x}{(x^2+4)^2}=\frac{x^2+4-4x^2}{2\sqrt{x}(x^2+4)^2}=\frac{-3x^2+4}{2\sqrt{x}(x^2+4)^2}$$

Теперь найдем вторую производную исходного выражения (производную от первой производной), пользуясь формулами производной дроби, произведения и производной сложной функции

$$(\frac{-3x^2+4}{2\sqrt{x}(x^2+4)^2})$$’ $$=\frac{-6x\cdot2\sqrt{x}(x^2+4)^2-(-3x^2+4)\cdot[\frac{(x^2+4)^2}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\cdot2(x^2+4)\cdot2x]}{4x(x^2+4)^4}=$$

$$=\frac{-12x\sqrt{x}(x^2+4)^2-(-3x^2+4)\cdot\frac{(x^2+4)^2+8x^2(x^2+4)}{\sqrt{x}}}{4x(x^2+4)^4}=$$

$$=\frac{-12x^2(x^2+4)^2-(-3x^2+4)(x^2+4)(x^2+4+8x^2)}{4x\sqrt{x}(x^2+4)^4}=$$

$$=\frac{-12x^2(x^2+4)+(4-3x^2)(9x^2+4)}{4x\sqrt{x}(x^2+4)^3}=$$

$$=\frac{-12x^4-48x^2+27x^4+12x^2-36x^2-16}{4x\sqrt{x}(x^2+4)^3}=$$

$$=\frac{15x^4-72x^2-16}{4x\sqrt{x}(x^2+4)^3}$$

Поделиться

Больше заданий

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 60 (система с параметром)

Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений $$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

Задание 41 (Роганін. Тест 4. №35)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем геометрическую задачу, взятую из пособия "Алгебра і початки аналізу: навч. посіб. /...

Задание 29 (медиана прямоугольного треугольника)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем задачу по планиметрии. Задача Медиана...

Задание 4 (уравнение 4-й степени)

Решить уравнение: $$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)$$ Решение: Материалы по теме: Формулы сокращенного умножения, Корни квадратного...

Материалы по теме

Задание №20 ЗНО 2014

Решение 20 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 18 задание

Найдите производную функции $$y=e^{-2x}.$$ А. $$y$$'$$=e^{-2x}$$

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 31 задание

На рисунку зображено графік функції $$F(x)=x^2+bx+c,$$ яка є первісною для функції $$f(x).$$...

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование (2 способа). Параметрическое дифференцирование. Примеры.

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Производная сложной функции

Определение Сложная функция – это функция (внешняя функция),...

Задание 13 (нахождение наибольшего и наименьшего значения функции)

Задание Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=-8x^6+9x^4-2x^2-3$$...

Задание 12 (нахождение производных)

Найти производную Перед тем, как приступить к решению задания,...