Задание 65 (текстовая задача)

Деревня расположена на берегу реки, а школа — на шоссе, пересекающем реку под прямым углом. Зимой школьник ходит из деревни в школу напрямик на лыжах и тратит на дорогу 40 мин. Весной, в распутницу, он идет берегом реки до шоссе, а дальше — по шоссе до школы, и тратит на дорогу 1 ч 10 мин. Наконец, осенью он проходит вдоль реки половину расстояния, отделяющего деревню от шоссе, а дальше идет напрямик. При этом он доходит до школы быстрее, чем за 57 мин. Установите, что дальше: деревня от шоссе или школа от реки, если известно, что пешком школьник ходит всегда с одной и той же скоростью, а на лыжах со скоростью на 25% большей (реку и шоссе считать прямыми линиями).

Решение

Введем обозначения.

$$A$$ — место расположения деревни, $$B$$ — место расположения школы, $$C$$ — точка пересечения реки и шоссе.

$$\triangle ABC$$: $$\angle C=90^{\circ}$$, $$AB=c$$, $$AC=b$$, $$BC=a$$. Точка $$K$$ — середина расстояния от деревни до шоссе вдоль реки, $$AK=KC=\frac{b}{2}$$, $$BK=\sqrt{a^2+(\frac{b}{2})^2}$$ — расстояние от половины пути по реке до школы (по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $$\triangle KCB$$).

Примем за единицу скорость пешего передвижения школьника, тогда скорость на лыжах равна $$1.25$$

Найдем время, за которое может добраться школьник из деревни в школу напрямик, если будет идти пешком: $$1.25\cdot 40=50$$ минут.

ЗИМА: расстояние $$c$$ за 40 минут на лыжах или 50 минут пешком.

ВЕСНА: расстояние $$a+b$$ за 70 минут пешком.

ОСЕНЬ: расстояние $$\frac{b}{2}+\sqrt{a^2+(\frac{b}{2})^2}$$ менее, чем за 57 минут пешком.

Итак, $$a+b=70$$, тогда $$b=70-a$$

Из треугольника $$\triangle ABC$$ по теореме Пифагора $$a^2+b^2=c^2$$

$$a^2+(70-a)^2=50^2$$

$$a^2+70^2+a^2-140a-50^2=0$$

$$2a^2-140a+(70-50)(70+50)=0$$

$$2a^2-140a+2400=0$$

$$a^2-70a+1200=0$$

По теореме Виета: $$a_1=30$$, $$a_2=40$$

Тогда $$b_1=40$$, $$b_2=30$$

Проверим осеннее неравенство $$\frac{b}{2}+\sqrt{a^2+(\frac{b}{2})^2} < 57$$

  1. $$a=30$$, $$b=40$$
    $$\frac{40}{2}+\sqrt{30^2+(\frac{40}{2})^2} < 57$$
    $$\sqrt{900+400} < 37$$
    $$\sqrt{1300} < \sqrt{1369}$$ — верно
  2. $$a=40$$, $$b=30$$
    $$\frac{30}{2}+\sqrt{40^2+(\frac{30}{2})^2} < 57$$
    $$\sqrt{1600+225} < 42$$
    $$\sqrt{1825} < \sqrt{1764}$$ — ложно

Значит расстояние от деревни до шоссе равно 40, что больше расстояния от школы до реки, равного 30.

Ответ: деревня дальше от шоссе, чем школа от реки.

Поделиться

Больше заданий

Задание 9 (Геометрия. Тригонометрия. Прогрессии)

Может ли существовать прямоугольный треугольник, у которого синусы углов образуют арифметическую прогрессию? Решение: Очевидно, что...

Задание 61 (уравнение с параметром)

Найдите все значения параметра $$p$$, при которых все корни уравнения $$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны.

Задание 12 (нахождение производных)

Найти производную Перед тем, как приступить к решению задания, рекомендуем ознакомиться с таблицей производных, основными правилами дифференцирования, нахождением производной...

Задание 1 (произведение, транспонирование и сумма матриц)

Рекомендуем ознакомиться с теоретическими материалами по линейной алгебре: элементы теории матриц. Найти значение выражения $$A^2B-2B+C^{T},$$ если

Задание 40 (Геометрия. 8 класс)

В рамках подготовки к ДПА по математике предлагаем геометрическую задачу на нахождение расстояния от точки до прямой через наклонные и их проекции.

Материалы по теме

Задание 64 (угол между часовой и минутной)

Найдите угол между часовой и минутной стрелками в 7 часов 38 минут

25 задание пробного ЗНО 2015

Решение 25 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

28 задание ЗНО 2014

Решение 28 задания ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 21 задание

Из пунктов $$A$$ и $$B$$ одновременно по шоссе навстречу друг другу выехали...

Итоговая контрольная работа по алгебре. 8 класс

Решение первого варианта итоговой контрольной работы по алгебре для учеников восьмого класса..

Задание 44 (текстовая задача)

1 и 2 краны наполняют ванну водой за 20 мин, 2 и 3 - за 15 мин, а 1 и 3 - за 12 мин. За сколько минут наполняют такую же ванну три крана, работая вместе?

Задание 42 (ДПА 2013. 9 класс. В1. Задача 3.1)

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию...

Задание 39 (текстовая задача на движение)

Продолжаем готовиться к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по математике. Предлагаем Вашему...

ДПА 2012. 9 класс. Вариант 7. Задание 3.1

Продолжаем готовиться к ДПА и ЗНО по математике. Текстовая задача на перевозку...

ДПА 2012. 9 класс. Вариант 4. Задание 3.1

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию...

Задание 24 (текстовая задача на движение)

Предлагаем Вашему вниманию текстовую задачу на движение (по воде) в рамках подготовки...