Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і розташування лінії, знайти координати фокуса.

Пропонуємо згадати теорію теорію: Рівняння кривих другого порядку. Коло, Еліпс; Гіпербола; Парабола; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду.

Подивіться інші приклади приведення до канонічного виду: Коло; Еліпс; Гіпербола.

Розв’язування.

Тому що член з $$x^2$$ відсутній, виділення повного квадрата здійснюємо лише для змінної $$y$$:

$$3(y+1)^2+5x+10=0$$.

Виносимо також за дужку коефіцієнт при $$x$$:

$$3(y+1)^2+5(x+2)=0$$.

Позначаємо

$$\left\{\begin{matrix} {x^{\prime}} = x + 2\\ {y^{\prime}} = y + 1 \end{matrix}\right.$$ або $$\left\{\begin{matrix} x = {x^{\prime}} — 2\\ y = {y^{\prime}} — 1 \end{matrix}\right.$$

Таким чином, здійснюється паралельний перенос системи координат в точку $${O^{\prime}}(-2;-1)$$. В наслідок переносу рівняння набуває виду

$$3{y^{\prime}}^2+5{x^{\prime}}=0$$, або $${y^{\prime}}^2=-\frac{5}{3}{x^{\prime}}$$.

Звідси слідує, що дана лінія є парабола, вершиною якої є точка $${O^{\prime}}(-2;-1)$$. Вона направлена у від’ємному напрямі осі $${O^{\prime}}{x^{\prime}}$$ і симетрична відносно цієї осі.

Величина $$p=\frac{5}{6},\;p>0$$. Тому фокус має нові координати:

$${x^{\prime}}=-\frac{p}{2}=-\frac{5}{12},\;{y^{\prime}}=0$$. Тобто $$F'(-\frac{5}{12};0)$$.

Його старі координати:

$$x={x^{\prime}}-2=-\frac{5}{12}-2=-\frac{29}{12},\;y={y^{\prime}}-1=0-1=-1\Rightarrow F(-\frac{29}{12};-1).$$

Якщо в даному рівнянні покласти $$y=0$$ або $$x=0$$, то виявиться, що парабола перетинає вісь $$OX$$ в точці $$x_1=-\frac{13}{5}=-2.6$$, а вісь $$OY$$ вона не перетинає.

Зробимо відповідний рисунок

Поделиться

Больше заданий

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду; Формули скороченого...

Задание 38 (степени, геометрическая прогрессия)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию задание на нахождение значения выражения. При решении задания будут использоваться свойства степеней,...

Задание 43 (логарифмы)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем задание на свойства логарифмов. Но прежде предлагаем вспомнить теоретический...

Задание 28 (корни и степени)

Задание на упрощение выражения. Применение свойств корней и степеней.

Задание 61 (уравнение с параметром)

Найдите все значения параметра $$p$$, при которых все корни уравнения $$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны.

Материалы по теме

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у...

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок...