Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости в пространстве.

Советуем вспомнить теоретический материал по данной теме: уравнение плоскости в пространстве.

Задание 33

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(5; 4; 3) и отсекает равные отрезки на осях координат.

Решение:

Запишем уравнение плоскости в отрезках на осях, в котором $$a=b=c$$

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1\Rightarrow x+y+z=a$$

Координаты точки М должны удовлетворять уравнению искомой плоскости, поэтому должно выполняться равенство $$5+4+3=a\Rightarrow a=12$$.

Значит уравнение искомой плоскости имеет вид

$$x+y+z-12=0$$.

Ответ: $$x+y+z-12=0$$.

Задание 34

Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения $$x+y+5z-1=0,$$ $$2x+3y-z+2=0$$ и через точку М(3; 2; 1).

Решение:

Используем уравнение пучка плоскостей

$$x+y+5z-1+\lambda(2x+3y-z+2)=0$$

Подставим координаты точки М и найдем $$\lambda$$

$$3+2+5-1+\lambda(6+6-1+2)=0\Rightarrow \lambda=-\frac{9}{13}$$

Уравнение плоскости имеет вид

$$x+y+5z-1-\frac{9}{13}(2x+3y-z+2)=0$$

Или, после умножения на 13 и приведения подобных членов, получим

$$-5x-14y+74z-31=0$$

$$5x+14y-74z+31=0$$

Ответ: $$5x+14y-74z+31=0$$.

Задание 35

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;3;5) и перпендикулярной вектору $$\vec{N}(4;3;2)$$.

Решение:

Используем формулу для плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору

$$4(x-2)+3(y-3)+2(z-5)=0$$

Или, после преобразований

$$4x+3y+2z-27=0$$

Ответ: $$4x+3y+2z-27=0$$.

Поделиться

Больше заданий

Материалы по теме