Задание 30 (найти значение разности арктангенсов)

В рамках подготовки учеников 11 класса к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) предлагаем задание на вычисление значения разности арктангенсов.

Сначала рекомендуем вспомнить необходимые теоретические материалы по теме: тригонометрические функции суммы и разности углов, свойства обратных тригонометрических функций, значения обратных тригонометрических функций, решение простейших тригонометрических уравнений.

Задание

Найти значение выражения

$$\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})-\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решение:

Обозначим значение выражения через $$x$$

$$\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})-\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}=x,\;x\in\left ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right )$$

Возьмем тангенс от левой и правой части равенства

$$\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2}) -\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )=\textup{tg}\,x$$

Воспользуемся формулой тангенса разности углов

$$\frac{\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})\right )-\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )}{1+\textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,(3+2\sqrt{2})\right )\cdot \textup{tg}\,\left (\textup{arctg}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right )}=\textup{tg}\,x$$

Упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойство арктангенса

$$\frac{3+2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+(3+2\sqrt{2})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\textup{tg}\,x$$

$$\frac{\left (6+4\sqrt{2}-\sqrt{2} \right )\cdot2}{2\cdot(2+3\sqrt{2}+4)}=\textup{tg}\,x$$

$$\frac{6+3\sqrt{2}}{6+3\sqrt{2}}=\textup{tg}\,x$$

$$\textup{tg}\,x=1$$

Решением полученного простейшего тригонометрического уравнения, будет

$$x=\frac{\pi}{4}$$

Ответ: $$\frac{\pi}{4}$$.

Поделиться

Больше заданий

Задание 27 (тригонометрия)

Предлагаем задание на применение формул преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение. Задание Найти значение...

Задание 28 (корни и степени)

Задание на упрощение выражения. Применение свойств корней и степеней.

Задание 50 (логарифмы)

Решение задания 50 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Задание 11 (Алгебра)

Задание 11. Рациональные выражения

Задание 2 (определители 3 и 4 порядка)

Перед тем, как приступать к решению задания, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей. Вычислить определители: $$begin{vmatrix}...

Материалы по теме

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

21 задание пробного ЗНО 2015

Решение 21 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

13 задание пробного ЗНО 2015

Решение 13 тестового задания по математике пробного ЗНО 2015..

Тригонометрические выражения

Пройдите онлайн тест по теме "Тригонометрические выражения" и узнайте, насколько Вы подготовлены к ДПА и ЗНО..

Задание 52

Задание на доказательство. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение..

14 задание ЗНО 2014

Решение 14 задание ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание...