Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Різні рівняння площини у просторі

Нормальне рівняння площини

$$\vec{r}\vec{n}=p$$, де $$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$$ – радіус-вектор довільної точки $$M(x, y, z)$$ площини, $$\vec{n}=\vec{i}\cos\alpha+\vec{j}\cos\beta+\vec{k}\cos\gamma$$ – одиничний вектор, що має напрям перпендикуляра, опущеного на площину із початку координат, $$\alpha,\;\beta,\;\gamma$$ – кути, утворені згаданим перпендикуляром з осями координат $$OX,\;OY,\;OZ$$, $$p$$ – довжина перпендикуляра.
В координатній формі рівняння записується $$x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma-p=0.$$

Загальне рівняння площини

$$Ax+By+Cz+D=0\;(A^2+B^2+C^2\neq0)$$

Коефіцієнти $$A,B,C$$ служать координатами вектора $$\vec{N}=\left \{ A,B,C \right \}$$, який перпендикулярний до площини (нормальний вектор).

Для приведення загального рівняння до нормального виду необхідно всі його члени помножити на нормуючий множник $$\mu=\pm\frac{1}{N}=\pm\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$,
де знак перед коренем слід брати протилежним знакові $$D$$:

$$\frac{Ax+By+Cz+D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0$$.

Якщо точка $$M(x_0;y_0;z_0)$$ знаходиться на певній відстані $$d$$ від площини, то ця величина обчислюється за формулою (див. приклад)

$$d=\left | \frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \right |.$$

В залежності від наявності або відсутності певних змінних в загальному рівнянні площини, а також рівності або нерівності $$D$$ нулю площина буде характеризуватись певними особливостями її розташування у просторі.

Елементи дослідження загального рівняння площини:

  • при відсутності в загальному рівнянні однієї певної змінної (при $$D\neq0$$) площина буде паралельною вісі, яка однойменна з відсутньою змінною;
  • при $$D=0$$ площина проходить через початок координат;
  • при відсутності в загальному рівнянні площини двох певних змінних (при $$D\neq0$$) площина буде перпендикулярною вісі, яка однойменна з наявною в рівнянні площини змінною;
  • при відсутності в загальному рівнянні площини однієї певної змінної і $$D=0$$ площина проходить через вісь, яка однойменна з відсутньою змінною;
  • при відсутності в загальному рівнянні двох змінних і $$D=0$$ площина буде співпадати з координатною площиною, яка перпендикулярна осі, однойменній з наявною в її рівнянні змінною.

Рівняння площини «у відрізках на осях»

Якщо $$D\neq0$$, то після розділення всіх членів загального рівняння площини на $$-D$$, рівняння площини набуває виду

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$, де $$a=-\frac{D}{A},\;b=-\frac{D}{B},\;c=-\frac{D}{C}$$.

Точки перетину цієї площини з координатними вісями називаються “слідами площини”: $$M(a;0;0),\;N(0;b;0),\;P(0;0;c)$$.

Рівняння в’язки площин

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$ називається рівнянням в’язки площин – сукупності площин, що перетинаються в точці $$M(x_0;y_0;z_0)$$, але мають різну орієнтацію у просторі, в залежності від орієнтації нормального вектора $$\vec{N}=\left \{ A,B,C \right \}$$.

Рівняння пучка площин

$$A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$$ визначає деяку площину, що проходить через пряму, по якій перетинаються дві площини, тобто через пряму, яка визначається рівнянням

$$\left\{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}\right.$$.

Якщо вказані площини паралельні, то пучок перетворюється в сукупність паралельних площин.

Рівняння площини, яка проходить через точки

$$\begin{vmatrix} x-x_1 y-y_1 z-z_1\\ x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1\\ x_3-x_1 y_3-y_1 z_3-z_1 \end{vmatrix}=0$$ – рівняння площини, яка проходить через точки $$M_1(x_1;y_1;z_1),\;M_2(x_2;y_2;z_2),\;M_3(x_3;y_3;z_3)$$, а $$M(x;y;z)$$ – довільна точка площини.

Взаємне розташування двох площин

Розглядаються деякі співвідношення, які виражають певні моменти взаємного розташування двох площин:

Паралельність

У випадку паралельності площин $$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2},\;\vec{N_1}\parallel \vec{N_2}.$$

Перетинання

Якщо дві площини перетинаються так, що кут між їх нормальними векторами дорівнює $$\phi$$, то

$$\cos\phi=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}},\;\phi=\widehat{\left ( \vec{N_1} ;\vec{N_2}\right )}$$.

Перпендикулярність

У випадку перпендикулярності площин $$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0,\;\vec{N_1}\perp \vec{N_2}.$$

Поделиться

Больше материалов

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається вектор $$vec{b}$$, який задовольняє наступним умовам:

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді $$left{begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} &...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії другого порядку має вид $$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0,$$ де коефіцієнти...

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Пряма лінія на площині

Рівняння лінії в системі координат Всякій лінії на площині $$XOY$$, яка розглядається як геометричне місце точок, відповідає деяке рівняння,...

Материалы по теме

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у...

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок...