Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку

Загальне рівняння лінії другого порядку має вид

$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0,$$ де коефіцієнти $$A,\;B,\;C$$ одночасно в нуль не обертаються. За допомогою перетворення системи координат рівняння лінії другого порядку можна привести до найпростішого (канонічного) виду.

Загальне рівняння кола

Якщо в загальному рівнянні $$A=C,\;B=0$$, то отримаємо коло. Значить загальне рівняння кола має вид $$Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0.$$

Після ділення його на $$A$$, виділення повних квадратів по $$x$$ і по $$y$$, позначимо
$$a=-\frac{D}{A},\;b=-\frac{E}{A},\;R^2=\frac{D^2+E^2-AF}{A^2}.$$

Примітка. Для дійсного кола $$D^2+E^2-AF>0$$, при $$D^2+E^2-AF=0$$ загальне рівняння кола визначає лише одну дійсну точку $$\left ( -\frac{D}{A} ;-\frac{E}{A}\right )$$, тоді як при $$D^2+E^2-AF<0$$ загальному рівнянню кола не задовольняє жодна дійсна точка.

Останні два випадки розглядуються як випадки кола з нулевим або уявним радіусом.

Приклад: Приведення загального рівняння кола до канонічного виду.

Канонічний (найпростіший) вид

Якщо в загальному рівнянні лінії другого порядку коефіцієнт $$B=0$$, то воно має вид

$$Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0.$$

Це рівняння приводять до найпростішого виду за допомогою паралельного переносу вісей координат за формулами

$$\begin{cases} x = x^{\prime} +x_0\\ y = y^{\prime}+y_0 \end{cases}$$, де $$(x_0;y_0)$$ – координати нового початку $$O^{\prime}$$ (у старій системі координат). Нові осі координат паралельні старим. Точка $$O^{\prime}$$ є центром еліпса або гіперболи і вершиною – у випадку параболи.

Приведення загального рівняння до найпростішого виду зручно робити методом виділення повних квадратів аналогічно тому, як це виконувалось вище для кола.

Приклади: Еліпс; Гіпербола; Парабола.

Поделиться

Больше материалов

Рівняння кривих другого порядку. Коло. Еліпс

Коло Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки $$C(a,b)$$ є постійною і дорівнює...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається вектор $$vec{b}$$, який задовольняє наступним умовам:

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних...

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається число, що дорівнює скалярному добутку вектора $$vec{a}"$$ на вектор, який...

Материалы по теме

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у...

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок...