Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку

Загальне рівняння лінії другого порядку має вид

$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0,$$ де коефіцієнти $$A,\;B,\;C$$ одночасно в нуль не обертаються. За допомогою перетворення системи координат рівняння лінії другого порядку можна привести до найпростішого (канонічного) виду.

Загальне рівняння кола

Якщо в загальному рівнянні $$A=C,\;B=0$$, то отримаємо коло. Значить загальне рівняння кола має вид $$Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0.$$

Після ділення його на $$A$$, виділення повних квадратів по $$x$$ і по $$y$$, позначимо
$$a=-\frac{D}{A},\;b=-\frac{E}{A},\;R^2=\frac{D^2+E^2-AF}{A^2}.$$

Примітка. Для дійсного кола $$D^2+E^2-AF>0$$, при $$D^2+E^2-AF=0$$ загальне рівняння кола визначає лише одну дійсну точку $$\left ( -\frac{D}{A} ;-\frac{E}{A}\right )$$, тоді як при $$D^2+E^2-AF<0$$ загальному рівнянню кола не задовольняє жодна дійсна точка.

Останні два випадки розглядуються як випадки кола з нулевим або уявним радіусом.

Приклад: Приведення загального рівняння кола до канонічного виду.

Канонічний (найпростіший) вид

Якщо в загальному рівнянні лінії другого порядку коефіцієнт $$B=0$$, то воно має вид

$$Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0.$$

Це рівняння приводять до найпростішого виду за допомогою паралельного переносу вісей координат за формулами

$$\begin{cases} x = x^{\prime} +x_0\\ y = y^{\prime}+y_0 \end{cases}$$, де $$(x_0;y_0)$$ – координати нового початку $$O^{\prime}$$ (у старій системі координат). Нові осі координат паралельні старим. Точка $$O^{\prime}$$ є центром еліпса або гіперболи і вершиною – у випадку параболи.

Приведення загального рівняння до найпростішого виду зручно робити методом виділення повних квадратів аналогічно тому, як це виконувалось вище для кола.

Приклади: Еліпс; Гіпербола; Парабола.

Поделиться

Больше материалов

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії другого порядку має вид $$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0,$$ де коефіцієнти...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне рівняння прямої $$left{begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 end{matrix}right.$$ -...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із однієї гілки. Аналітично вона є геометричним місцем...

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних...

Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи чотирьох лінійних рівнянь с чотирма невідомими. Ідея...

Материалы по теме

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у...

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок...