Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку

Загальне рівняння лінії другого порядку має вид

$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0,$$ де коефіцієнти $$A,\;B,\;C$$ одночасно в нуль не обертаються. За допомогою перетворення системи координат рівняння лінії другого порядку можна привести до найпростішого (канонічного) виду.

Загальне рівняння кола

Якщо в загальному рівнянні $$A=C,\;B=0$$, то отримаємо коло. Значить загальне рівняння кола має вид $$Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0.$$

Після ділення його на $$A$$, виділення повних квадратів по $$x$$ і по $$y$$, позначимо
$$a=-\frac{D}{A},\;b=-\frac{E}{A},\;R^2=\frac{D^2+E^2-AF}{A^2}.$$

Примітка. Для дійсного кола $$D^2+E^2-AF>0$$, при $$D^2+E^2-AF=0$$ загальне рівняння кола визначає лише одну дійсну точку $$\left ( -\frac{D}{A} ;-\frac{E}{A}\right )$$, тоді як при $$D^2+E^2-AF<0$$ загальному рівнянню кола не задовольняє жодна дійсна точка.

Останні два випадки розглядуються як випадки кола з нулевим або уявним радіусом.

Приклад: Приведення загального рівняння кола до канонічного виду.

Канонічний (найпростіший) вид

Якщо в загальному рівнянні лінії другого порядку коефіцієнт $$B=0$$, то воно має вид

$$Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0.$$

Це рівняння приводять до найпростішого виду за допомогою паралельного переносу вісей координат за формулами

$$\begin{cases} x = x^{\prime} +x_0\\ y = y^{\prime}+y_0 \end{cases}$$, де $$(x_0;y_0)$$ – координати нового початку $$O^{\prime}$$ (у старій системі координат). Нові осі координат паралельні старим. Точка $$O^{\prime}$$ є центром еліпса або гіперболи і вершиною – у випадку параболи.

Приведення загального рівняння до найпростішого виду зручно робити методом виділення повних квадратів аналогічно тому, як це виконувалось вище для кола.

Приклади: Еліпс; Гіпербола; Парабола.

Поделиться

Больше материалов

Материалы по теме