Аналитическая геометрия

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку

9x^2+16y^2-90x+32y+97=0

привести до канонічного виду. Визначити тип і розташування лінії. Знайти координати фокусів й інші параметри.

Розв’язування.

Пропонуємо згадати теорію: Рівняння кривих другого порядку. Коло, Еліпс; Гіпербола; Парабола; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду та інші приклади приведення до найпростішого виду: Коло; Гіпербола; Парабола.

Після групування членів, які містять лише x і y, винесення за дужки коефіцієнтів при x^2 і y^2, доповнення до повних квадратів знайдемо

9(x-5)^2+16(y+1)^2=144.

Позначаємо

\left\{\begin{matrix} x'& = & x & - & 5\\ y'& = & y & + & 1 \end{matrix}\right.  або \left\{\begin{matrix} x& = & x' & + & 5\\ y& = & y' & - & 1 \end{matrix}\right.

9x'^2+16y'^2=144 є рівняння еліпса в новій системі координат, після почленного ділення на 144 отримаємо:

\frac{x'^2}{16}+\frac{y'^2}{9}=1.

Напівосі дорівнюють a=4,\;b=3. Координати центра в старій системі O'(5;-1). Віддаль фокусів від центра c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2.6. Нові координати правого фокуса F'_2(\sqrt{7};0), а його старі координати F_2(\sqrt{7}+5;-1). Нові координати лівого фокуса F'_1(-\sqrt{7};0), а його старі координати F_1(-\sqrt{7}+5;-1). Координати вершин: A_1(1;-1)A_2(9;-1)B_1(5;-4), B_2(5;2) в старій системі; A'_1(-4;0)A'_2(4;0), B'_1(0;-3), B'_2(0;3) — в новій системі. Зробимо відповідний рисунок.

Еллипс. Параллельный перенос

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!