Задание 37 («Готуємось до ЗНО» №40.25)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию геометрическое задание на соответствие логических пар, взятое из пособия «Математика: Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання», но без опечатки, присутствующей в пособии.

Задание

Две плоскости, пересекающиеся под углом 60°, касаются сферы. Установить соответствие между площадью сферы (1-4) и расстоянием от центра сферы до линии пересечения плоскостей (А-Д).

1$$36\pi$$ см2А$$8\sqrt{3}$$ см
2$$12\pi$$ см2Б$$6$$ см
3$$48\pi$$ см2В$$2\sqrt{3}$$ см
4$$192\pi$$ см2Г$$5\sqrt{3}$$ см
Д$$4\sqrt{3}$$ см

Решение:

Дана сфера с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R$$. Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ касаются сферы соответственно в точках $$A$$ и $$B$$ (каждая плоскость лишь в 1 точке).

Проведем плоскость через точки $$O,A,B$$. Обозначим точку полученной плоскости и принадлежащую линии пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$ точкой $$C$$. Перейдем к задаче на плоскости.

Вспомним определение и свойства касательной к окружности.

Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

По условию $$\angle ACB=60^{\circ}$$. $$AC$$ и $$BC$$ — касательные к окружности. $$OA=OB=R$$.

Из второго свойства имеем $$\angle ACO=\angle BCO=\frac{\angle ACB}{2}=30^{\circ}$$.

Из первого свойства следует, что треугольники $$\triangle OAC$$ и $$\triangle OBC$$ прямоугольные $$\left ( \angle OAC=\angle OBC=90^{\circ} \right ).$$ $$OA,AC$$ и $$OB,BC$$ — катеты, $$OC$$ — гипотенуза.

Известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит $$OC=2R$$.

Площадь сферы вычисляется по формуле $$S=4\pi R^2$$, тогда радиус равен $$R=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$.

Тогда $$OC=2\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$.

Установим соответствие между площадью сферы (1-4) и расстоянием от центра сферы до линии пересечения плоскостей (А-Д).

  • $$OC=2\sqrt{\frac{36\pi}{4\pi}}=6$$ (см), т.е. 1-Б.
  • $$OC=2\sqrt{\frac{12\pi}{4\pi}}=2\sqrt{3}$$ (см), т.е. 2-В.
  • $$OC=2\sqrt{\frac{48\pi}{4\pi}}=4\sqrt{3}$$ (см), т.е. 3-Д.
  • $$OC=2\sqrt{\frac{192\pi}{4\pi}}=8\sqrt{3}$$ (см), т.е. 4-А.

Поделиться

Больше заданий

Материалы по теме