Задание 37 («Готуємось до ЗНО» №40.25)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию геометрическое задание на соответствие логических пар, взятое из пособия «Математика: Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання», но без опечатки, присутствующей в пособии.

Задание

Две плоскости, пересекающиеся под углом 60°, касаются сферы. Установить соответствие между площадью сферы (1-4) и расстоянием от центра сферы до линии пересечения плоскостей (А-Д).

1$$36\pi$$ см2А$$8\sqrt{3}$$ см
2$$12\pi$$ см2Б$$6$$ см
3$$48\pi$$ см2В$$2\sqrt{3}$$ см
4$$192\pi$$ см2Г$$5\sqrt{3}$$ см
Д$$4\sqrt{3}$$ см

Решение:

Дана сфера с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R$$. Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ касаются сферы соответственно в точках $$A$$ и $$B$$ (каждая плоскость лишь в 1 точке).

Проведем плоскость через точки $$O,A,B$$. Обозначим точку полученной плоскости и принадлежащую линии пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$ точкой $$C$$. Перейдем к задаче на плоскости.

Вспомним определение и свойства касательной к окружности.

Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

По условию $$\angle ACB=60^{\circ}$$. $$AC$$ и $$BC$$ — касательные к окружности. $$OA=OB=R$$.

Из второго свойства имеем $$\angle ACO=\angle BCO=\frac{\angle ACB}{2}=30^{\circ}$$.

Из первого свойства следует, что треугольники $$\triangle OAC$$ и $$\triangle OBC$$ прямоугольные $$\left ( \angle OAC=\angle OBC=90^{\circ} \right ).$$ $$OA,AC$$ и $$OB,BC$$ — катеты, $$OC$$ — гипотенуза.

Известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит $$OC=2R$$.

Площадь сферы вычисляется по формуле $$S=4\pi R^2$$, тогда радиус равен $$R=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$.

Тогда $$OC=2\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$.

Установим соответствие между площадью сферы (1-4) и расстоянием от центра сферы до линии пересечения плоскостей (А-Д).

  • $$OC=2\sqrt{\frac{36\pi}{4\pi}}=6$$ (см), т.е. 1-Б.
  • $$OC=2\sqrt{\frac{12\pi}{4\pi}}=2\sqrt{3}$$ (см), т.е. 2-В.
  • $$OC=2\sqrt{\frac{48\pi}{4\pi}}=4\sqrt{3}$$ (см), т.е. 3-Д.
  • $$OC=2\sqrt{\frac{192\pi}{4\pi}}=8\sqrt{3}$$ (см), т.е. 4-А.

Поделиться

Больше заданий

Задание 42 (ДПА 2013. 9 класс. В1. Задача 3.1)

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию текстовую задачу, взятую из первого варианта ДПА 2013 по математике...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Задание 16 (угол между прямыми)

Найти угол между прямыми $$y-2x-5=0$$ и $$y+3x-1=0.$$ Перед тем, как приступить к решению задания, рекомендуем повторить теоретический материал.

Задание 36 (ЕГЭ. B12 №27970)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию задание, являющееся прототипом задания B12 №27970 на ЕГЭ.

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

33 задание ЗНО 2014

Решение 33 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

31 задание ЗНО 2014

Решение 31 задания ЗНО 2014 по математике..

Задание №26 ЗНО 2014

Решение 26 задания ЗНО 2014 по математике..

23 задание ЗНО 2014

Решение 23 задания ЗНО 2014 по математике..