31 задание ЗНО 2014

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой  ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см2) площадь трапеции.

Решение

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AC$$ — диагональ трапеции и биссектриса острого угла $$\angle A$$, т.е. $$\angle BAC=\angle CAD$$. $$EF$$ — средняя линия трапеции. $$EO=15$$ см, $$OF=33$$ см ($$AC$$ пересекает $$EF$$ в точке $$O$$). Опустим высоты на $$AD$$ из $$B$$ и $$C$$ ($$BM\perp AD$$, $$CK\perp AD$$).

$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BM=EF\cdot BM$$

$$EF=EO+OF=15+33=48$$ см

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ACD$$ для которых $$EO$$ и $$OF$$ являются соответственно средними линиями. Значит $$BC=2\cdot EO=30$$ см, $$AD=2\cdot OF=66$$ см.

$$\angle CAD=\angle BCA$$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$BC\parallel AD$$ и секущей $$AC$$, но по условию $$\angle CAD = \angle BAC$$, следовательно $$\angle BCA = \angle BAC$$ и треугольник $$\triangle ABC$$ равнобедренный, т.е. $$AB=BC=30$$ см.

Рассмотрим $$\triangle ABM$$: $$\angle M=90^{\circ}$$, $$AB=30$$ см, $$AM=\frac{AD-BC}{2}=\frac{66-30}{2}=18$$ см. По теореме Пифагора найдем $$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24$$ см.

Тогда площадь трапеции равна $$S_{ABCD}=48\cdot24=1152$$ см2.

Ответ: 1152

Поделиться

Обратите внимание

Материалы по теме

Предыдущий материал30 задание ЗНО 2014
Следующий материал32 задание ЗНО 2014