31 задание ЗНО 2014

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой  ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см2) площадь трапеции.

Решение

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AC$$ — диагональ трапеции и биссектриса острого угла $$\angle A$$, т.е. $$\angle BAC=\angle CAD$$. $$EF$$ — средняя линия трапеции. $$EO=15$$ см, $$OF=33$$ см ($$AC$$ пересекает $$EF$$ в точке $$O$$). Опустим высоты на $$AD$$ из $$B$$ и $$C$$ ($$BM\perp AD$$, $$CK\perp AD$$).

$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BM=EF\cdot BM$$

$$EF=EO+OF=15+33=48$$ см

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ACD$$ для которых $$EO$$ и $$OF$$ являются соответственно средними линиями. Значит $$BC=2\cdot EO=30$$ см, $$AD=2\cdot OF=66$$ см.

$$\angle CAD=\angle BCA$$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$BC\parallel AD$$ и секущей $$AC$$, но по условию $$\angle CAD = \angle BAC$$, следовательно $$\angle BCA = \angle BAC$$ и треугольник $$\triangle ABC$$ равнобедренный, т.е. $$AB=BC=30$$ см.

Рассмотрим $$\triangle ABM$$: $$\angle M=90^{\circ}$$, $$AB=30$$ см, $$AM=\frac{AD-BC}{2}=\frac{66-30}{2}=18$$ см. По теореме Пифагора найдем $$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24$$ см.

Тогда площадь трапеции равна $$S_{ABCD}=48\cdot24=1152$$ см2.

Ответ: 1152

Поделиться

Обратите внимание

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 1

Решение 1 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 2

Решение 2 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 3

Решение 3 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 4

Решение 4 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 5

Решение 5 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.
Предыдущий материал30 задание ЗНО 2014
Следующий материал32 задание ЗНО 2014