ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Готуємось до ДПА з математики. Наведено розв’язки 4-ї частини завдань 1 варіанта.

Завдання 19

Побудуйте графік функції $$y=x|x-2|$$.

Розв’язок:

  1. $$x \in (-\infty; 2)$$
    $$y=2x-x^2=-(x^2-2x+1)+1=-(x-1)^2+1$$ — парабола. Вітки напрямлені вниз. Вершина в точці $$(1;1)$$. Перетинає вісь $$OX$$ в точках $$(0;0)$$, $$(2;0)$$.
  2. $$x \in [2; \infty)$$
    $$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$$ — парабола. Вітки напрямлені вгору. Вершина в точці $$(1;-1)$$. Перетинає вісь $$OX$$ в точках $$(0;0)$$, $$(2;0)$$.

Завдання 20

Доведіть нерівність $$(a+3)(b+27)(a+b) \geqslant 72ab$$, якщо $$a\geqslant 0$$, $$b\geqslant 0$$.

Доведення:

За нерівністю Коші для $$a\geqslant 0$$, $$b\geqslant 0$$: $$a+3\geqslant 2\sqrt{3a}$$; $$b+27\geqslant 2\sqrt{27b}$$; $$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$$.

Тоді $$(a+3)(b+27)(a+b)$$ $$\geqslant$$ $$2\sqrt{3a} \cdot$$ $$2\sqrt{27b} \cdot$$ $$2\sqrt{ab}=$$

$$=8\sqrt{3^4 a^2 b^2}=72ab$$

Що й треба було довести.

Завдання 21

Усередині правильного трикутника позначено точку, яка віддалена від його сторін на 8, 16 і 18. Обчисліть висоту трикутника.

Розв’язок:

Нехай $$\triangle ABC$$ — правильний трикутник. $$AB=BC=AC$$. $$ME\perp BC$$, $$ME=8$$; $$MD\perp AB$$, $$MD=16$$; $$MF\perp AC$$, $$MF=18$$. $$BK$$ — висота на сторону $$AC$$.

$$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AMC}+S_{\triangle AMB}+S_{\triangle BMC}$$

$$\frac{1}{2}AC \cdot BK=$$ $$\frac{1}{2}AC \cdot MF+$$ $$\frac{1}{2}AB \cdot MD+$$ $$\frac{1}{2}$$ $$BC$$ $$\cdot$$ $$ME =$$

$$=\frac{1}{2} AC \cdot (MF+MD+ME)$$

$$\frac{1}{2}AC\cdot BK=\frac{1}{2} AC\cdot (MF+MD+ME)$$

$$BK=MF+MD+ME=18+16+8=42$$

Відповідь: 42

Розв’язки 1 частини, 2 частини та 3 частини.

Поделиться

Обратите внимание

Материалы по теме