33 задание ЗНО 2014

Через точки $$A$$ и $$B$$, лежащих на окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра и не принадлежащих одной образующей, проведена плоскость параллельно оси цилиндра. Расстояние от центра нижнего основания до этой плоскости равно $$\sqrt{10}$$ см, а площадь полученного сечения — $$54\sqrt{10}$$ см2. Определить длину отрезка $$AB$$ (в см), если площадь боковой поверхности цилиндра равна $$180\pi$$ см2.

Решение

Рассмотрим рисунок. $$A$$ принадлежит нижнему основанию цилиндра, $$B$$ — верхнему. Прямоугольник $$ADBC$$ — сечение цилиндра плоскостью, параллельной к оси цилиндра $$OO_{1}$$. $$OE=\sqrt{10}$$ см — расстояние от центра нижнего основания до плоскости сечения. Площадь сечения $$S_{ADBC}=54\sqrt{10}$$ см2. Площадь боковой поверхности цилиндра $$S_{\text{бок. цил.}}=180\pi$$ см2. $$AB$$ — диагональ прямоугольника $$ADBC$$.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле $$S_{\text{бок. цил.}}= 2\pi R H$$, где $$R$$ — радиус основания цилиндра, $$H$$ — высота цилиндра. Значит $$2\pi R H=180\pi$$ или $$RH=90$$.

Получили $$H=\frac{90}{R}$$.

Так как площадь сечения является площадью прямоугольника, то $$S_{ADBC}=AD\cdot BD$$, где $$AD=H$$ является и высотой цилиндра. Т.е. $$H\cdot BD=54\sqrt{10}$$.

Подставим $$H$$, выразим $$BD$$ и получим $$BD=\frac{54\sqrt{10}\cdot R}{90}$$.

Или $$BD=\frac{3\sqrt{10}}{5}R$$.

Рассмотрим треугольник $$\triangle BEO$$: $$\angle E=90^{\circ}$$, $$OE=\sqrt{10}$$, $$BE=\frac{1}{2}BD$$, $$OB=R$$ — радиус основания цилиндра. По теореме Пифагора $$OB^2=OE^2+BE^2$$ или $$R^2=10+\frac{1}{4}BD^2$$.

Подставим $$BD$$  и получим $$R^2=10+\frac{1}{4}\cdot (\frac{3\sqrt{10}}{5}R)^2$$.

$$R^2=10+ \frac{90}{100}R^2$$

$$0.1R^2=10$$

$$R^2=100$$

$$R=10$$ см

Тогда $$BD=6\sqrt{10}$$ см и $$H=9$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle ADB$$. По теореме Пифагора $$AB^2=AD^2+BD^2$$.

$$AB=\sqrt{9^2+(6\sqrt{10})^2}=\sqrt{81+360}=\sqrt{441}=21$$ см.

Ответ: 21

Поделиться

Обратите внимание

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 1

Решение 1 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 2

Решение 2 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 3

Решение 3 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 4

Решение 4 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 5

Решение 5 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.
Предыдущий материал32 задание ЗНО 2014
Следующий материал34 задание ЗНО 2014