26 задание пробного ЗНО 2015

В ромб $$ABCD$$ вписана окружность с центром в точке $$O$$, которая касается сторон $$AB$$ и $$AD$$ в точках $$K$$ и $$M$$ соответственно (см. рисунок).
Периметр ромба равен 48 см, $$\angle A=60^{\circ}$$.

Найти:

1. Длину отрезка $$OB$$ (в см).

2. Длину отрезка $$KM$$ (в см).

Решение

1) Периметр ромба $$P=48$$ см, значит сторона ромба $$a=\frac{P}{4}=\frac{48}{4}=12$$ см. Так как угол $$\angle A=60^{\circ}$$ и $$AB=AD$$, то $$\triangle ABD$$ равносторонний и $$BD=AB=AD=12$$ см. $$O$$ — середина $$BD$$, значит $$OB=6$$ см.

Ответ: 6

2) Рассмотрим треугольник $$\triangle OKB$$: $$\angle K=90^{\circ}$$ (так как $$AB$$ — касательная к окружности), $$\angle B=60^{\circ}$$, значит $$\angle O=30^{\circ}$$, отсюда следует, что $$KB=\frac{1}{2}OB=3$$ см (катет против угла в $$30^{\circ}$$ равен половине гипотенузы). Значит $$AK=AB-KB=12-3=9$$ см. Из правильного треугольника $$\triangle AKM$$ (углы по $$60^{\circ}$$) $$KM=9$$ см.

Ответ: 9

Поделиться

Обратите внимание

Материалы по теме

Предыдущий материал25 задание пробного ЗНО 2015
Следующий материал27 задание пробного ЗНО 2015