Задание 38 (степени, геометрическая прогрессия)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию задание на нахождение значения выражения. При решении задания будут использоваться свойства степеней, формулы сокращенного умножения и формула суммы геометрической прогрессии.

Задание

Найти значение выражения

$$\frac{x^{3333}+x^{333}+x^{33}+x^3+1996}{x^2+x}$$, если $$x^2+x+1=0$$.

Решение:

$$\frac{x^{3333}+x^{333}+x^{33}+x^3+1996}{x^2+x}=$$

преобразуем степени

$$=\frac{x^{3\cdot1111}+x^{3\cdot111}+x^{3\cdot11}+x^3+1996}{x^2+x}=$$

вычтем и прибавим единицы

$$=\frac{x^{3\cdot1111}-1+1+x^{3\cdot111}-1+1+x^{3\cdot11}-1+1+x^3-1+1+1996}{x^2+x}=$$

сгруппируем

$$=\frac{\left (x^{3\cdot1111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot11}-1 \right )+\left (x^3-1 \right )+2000}{x^2+x}$$.

Рассмотрим геометрическую прогрессию: $$1;x^3;x^6;x^9;\cdots;x^{3n-3};x^{3n};x^{3n+3}\cdots$$

с первым членом $$b_1=1$$, знаменателем $$q=x^3$$ и n-м членом $$b_n=x^{3(n-1)}$$.

Вспомним формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

Тогда

$$S_{11}=\frac{1\left [\left (x^{3} \right )^{11}-1 \right ]}{x^3-1}=\frac{x^{3\cdot11}-1}{x^3-1}\Rightarrow x^{3\cdot11}-1=S_{11}\cdot(x^3-1)$$

$$S_{111}=\frac{1\left [\left (x^{3} \right )^{111}-1 \right ]}{x^3-1}=\frac{x^{3\cdot111}-1}{x^3-1}\Rightarrow x^{3\cdot111}-1=S_{111}\cdot(x^3-1)$$

$$S_{1111}=\frac{1\left [\left (x^{3} \right )^{1111}-1 \right ]}{x^3-1}=\frac{x^{3\cdot1111}-1}{x^3-1}\Rightarrow x^{3\cdot1111}-1=S_{1111}\cdot(x^3-1)$$

Подставим в искомое выражение

$$\frac{\left (x^{3\cdot1111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot111}-1 \right )+\left (x^{3\cdot11}-1 \right )+\left (x^3-1 \right )+2000}{x^2+x}=$$

$$=\frac{S_{1111}\cdot(x^3-1)+S_{111}\cdot(x^3-1)+S_{11}\cdot(x^3-1)+(x^3-1)+2000}{x^2+x}=$$

$$=\frac{(x^3-1)(S_{1111}+S_{111}+S_{11}+1)+2000}{x^2+x}=$$

Вспомним формулу разности кубов

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

Так как $$x^2+x+1=0$$, то $$x^3-1=0$$ и $$x^2+x=-1$$. Тогда исходное выражение примет вид

$$=\frac{0\cdot(S_{1111}+S_{111}+S_{11}+1)+2000}{-1}=-2000$$

Ответ:$$-2000$$.

Поделиться

Больше заданий

Задание 2 (определители 3 и 4 порядка)

Перед тем, как приступать к решению задания, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей. Вычислить определители: $$begin{vmatrix}...

Задание 16 (угол между прямыми)

Найти угол между прямыми $$y-2x-5=0$$ и $$y+3x-1=0.$$ Перед тем, как приступить к решению задания, рекомендуем повторить теоретический материал.

Связь между площадями фигур (задача 5 класса)

Решение на основе знаний учеников 5 класса о площадях квадрата и треугольника..

Задание 26 (логарифмы)

Предлагаем задание на применение свойств логарифмов. Задание Вычислить значение выражения $$frac{1}{3}left ( log_{frac{1}{2}}frac{1}{27}+log_{frac{1}{2}}64 right )$$.

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

27 задание пробного ЗНО 2015

Решение 27 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..