Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия – последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть сумма предыдущего члена и некоторого постоянного числа, называемого шагом или разностью арифметической прогрессии.
$$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n},\ldots$$ – арифметическая прогрессия.
$$a_1$$ – первый член арифметической прогрессии, $$d$$ – разность прогрессии, $$a_n$$ – общий член ($$n$$- й член) арифметической прогрессии, $$S_n$$ – сумма $$n$$ первых членов арифметической прогрессии.
$$d=a_{2}-a_{1}=\ldots=a_{n}-a_{n-1}=\ldots$$
$$a_{n}=a_{1}+d\cdot (n-1)$$
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, n\geqslant 2$$
$$a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=\ldots$$
$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$$
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть произведение предыдущего члена и некоторого постоянного числа, называемого знаменателем геометрической прогрессии. Первый член и знаменатель геометрической прогрессии не равны нулю.
$$b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n},\ldots$$ – геометрическая прогрессия.
$$b_1$$ – первый член геометрической прогрессии, $$q$$ – знаменатель прогрессии, $$b_n$$ – общий ($$n$$- й) член геометрической прогрессии, $$S_n$$ – сумма $$n$$ первых членов геометрической прогрессии.
$$q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\ldots=\frac{b_{n}}{b_{n-1}}=\ldots, b_{1}\neq0$$
$$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$
$$|b_{n}|=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, n\geqslant 2$$
$$b_{1}b_{n}=b_{2}b_{n-1}=\ldots$$
$$S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n}$$
$$S_{n}=\left\{\begin{matrix} \frac{b_{1}(q^n-1)}{q-1} ,&q>1 \\ \frac{b_{1}(1-q^n)}{1-q},&q<1\\ nb_{1},&q=1 \end{matrix}\right.$$
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – геометрическая прогрессия со знаменателем, абсолютная величина которого меньше единицы.
$$|q|<1,\; b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n},\ldots$$ – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
$$S$$ – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
$$S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n},\; S=\lim\limits_{n \to \infty }S_{n}$$
$$S=\frac{b_{1}}{1-q}$$
Проверьте свои знания по теме “Прогрессии” в бесплатном онлайн тесте.