Прогрессии

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть сумма предыдущего члена и некоторого постоянного числа, называемого шагом или разностью арифметической прогрессии.

$$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n},\ldots$$ — арифметическая прогрессия.

Обозначения
$$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — разность прогрессии, $$a_n$$ — общий член ($$n$$- й член) арифметической прогрессии, $$S_n$$ — сумма $$n$$ первых членов арифметической прогрессии.

Формулы
$$d=a_{2}-a_{1}=\ldots=a_{n}-a_{n-1}=\ldots$$

$$a_{n}=a_{1}+d\cdot (n-1)$$

$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, n\geqslant 2$$

$$a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=\ldots$$

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$$

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

$$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть произведение предыдущего члена и некоторого постоянного числа, называемого знаменателем геометрической прогрессии. Первый член и знаменатель геометрической прогрессии не равны нулю.

$$b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n},\ldots$$ — геометрическая прогрессия.

Обозначения
$$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — знаменатель прогрессии, $$b_n$$ — общий ($$n$$- й) член геометрической прогрессии, $$S_n$$ — сумма $$n$$ первых членов геометрической прогрессии.

Формулы
$$q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\ldots=\frac{b_{n}}{b_{n-1}}=\ldots, b_{1}\neq0$$

$$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$

$$|b_{n}|=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, n\geqslant 2$$

$$b_{1}b_{n}=b_{2}b_{n-1}=\ldots$$

$$S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n}$$

$$S_{n}=\left\{\begin{matrix} \frac{b_{1}(q^n-1)}{q-1} ,&q>1 \\ \frac{b_{1}(1-q^n)}{1-q},&q<1\\ nb_{1},&q=1 \end{matrix}\right.$$


Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия со знаменателем, абсолютная величина которого меньше единицы.

$$|q|<1,\; b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n},\ldots$$  — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Обозначения
$$S$$ — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Формулы
$$S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n},\; S=\lim\limits_{n \to \infty }S_{n}$$

$$S=\frac{b_{1}}{1-q}$$

Проверьте свои знания по теме «Прогрессии» в бесплатном онлайн тесте.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!