Задание 59 (доказательство и тождественные преобразования)

Доказать, что если $$6x+2y=3$$, то $$x^2+y^2 \geqslant \frac{9}{40}$$.

Доказательство

$$y=\frac{3-6x}{2}$$

$$x^2+(\frac{3-6x}{2})^2=x^2+9x^2-9x+\frac{9}{4}=$$

$$=10(x^2-\frac{9}{10}x+\frac{9}{40})=10([x^2+\frac{81}{400}-2\cdot\frac{9}{20}x]-\frac{81}{400}+\frac{9}{40})=$$

$$=10([x-\frac{9}{20}]^2+\frac{9}{400})=10(x-\frac{9}{20})^2+\frac{9}{40}$$

$$(x-\frac{9}{20})^2\geqslant 0$$

$$10(x-\frac{9}{20})^2\geqslant 0$$

$$10(x-\frac{9}{20})^2+\frac{9}{40}\geqslant \frac{9}{40}$$

Что и требовалось доказать.

Поделиться

Больше заданий

Задание 4 (уравнение 4-й степени)

Решить уравнение: $$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)$$ Решение: Материалы по теме: Формулы сокращенного умножения, Корни квадратного...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду. Розв’язування. Згадаємо теорію: Рівняння кривих другого...

Задание 38 (степени, геометрическая прогрессия)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию задание на нахождение значения выражения. При решении задания будут использоваться свойства степеней,...

Задание 7 (числовое неравенство, метод интервалов)

Решить неравенство: $$(4+2x)(4+x)(1-x)(x-3)geqslant 18$$ Решение: $$2(x+2)(x+4)(-1)(x-1)(x-3)-18geqslant 0$$ Разделим обе...

Задание 10 (Графики)

Построить график функции: $$y=sqrt{1+tg^2x}cdotcos xcdotsqrt{|x|}$$ Решение: Преобразуем исходную функцию:

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..

Решение 1-5 задания пробного ЗНО 2015

Решение 5 заданий (с 1 по 5) пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике
Предыдущий материалЗадание 58 (неравенства)
Следующий материалЗадание 60 (система с параметром)