Доказать, что если $$6x+2y=3$$, то $$x^2+y^2 \geqslant \frac{9}{40}$$.
Доказательство
$$y=\frac{3-6x}{2}$$
$$x^2+(\frac{3-6x}{2})^2=x^2+9x^2-9x+\frac{9}{4}=$$
$$=10(x^2-\frac{9}{10}x+\frac{9}{40})=10([x^2+\frac{81}{400}-2\cdot\frac{9}{20}x]-\frac{81}{400}+\frac{9}{40})=$$
$$=10([x-\frac{9}{20}]^2+\frac{9}{400})=10(x-\frac{9}{20})^2+\frac{9}{40}$$
$$(x-\frac{9}{20})^2\geqslant 0$$
$$10(x-\frac{9}{20})^2\geqslant 0$$
$$10(x-\frac{9}{20})^2+\frac{9}{40}\geqslant \frac{9}{40}$$
Что и требовалось доказать.