Задание 25 (тригонометрия, тождественные преобразования)

Задание

Упростить $$\cos^4\frac{x}{2}-\cos^4\left (\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2} \right )$$

Решение:

По формуле приведения $$\cos\left (\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2} \right )=\sin\frac{x}{2}$$, тогда $$\cos^4\frac{x}{2}-\cos^4\left (\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2} \right )=\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}$$

По формуле разность квадратов получим

$$\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}=\left (\cos^2\frac{x}{2} \right )^2-\left (\sin^2\frac{x}{2} \right )^2=\left ( \cos^2\frac{x}{2}- \sin^2\frac{x}{2}\right )\left ( \cos^2\frac{x}{2}+ \sin^2\frac{x}{2}\right )$$

Применим основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса двойного угла

$$\left ( \cos^2\frac{x}{2}- \sin^2\frac{x}{2}\right )\left ( \cos^2\frac{x}{2}+ \sin^2\frac{x}{2}\right )=\cos\left ( 2\cdot\frac{x}{2} \right )\cdot1=\cos x$$

Поделиться

Больше заданий

Материалы по теме