Степени и корни. Их свойства

$$a^x$$ называется степенью с основанием $$a$$ и показателем $$x,$$ если $$a$$ перемножается само на себя $$x$$ раз

Свойства степеней:

  1. $$a^0=1\; \left (a\neq0 \right )$$
  2. $$a^1=a$$
  3. $$a^x\cdot a^y=a^{x+y} \; \left (x,y\in\mathbb{R} \right )$$
  4. $$\frac{a^x}{a^y} =a^{x-y}\; \left ( x,y\in\mathbb{R}, a\neq0 \right )$$
  5. $$(a^x)^y=a^{xy}\; \left ( x,y\in\mathbb{R} \right )$$
  6. $$(ab)^x=a^xb^x\; \left ( x\in\mathbb{R} \right )$$
  7. $$\left (\frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x} \; \left ( x\in\mathbb{R} , b\neq0\right )$$
  8. $$a^{-x}=\frac{1}{a^x}\; \left ( x\in\mathbb{N} \right )$$

Арифметический корень $$n$$- й степени $$\left (n>0 \right )$$ из числа  $$a$$ — это такое число $$b,$$ что $$b^n=a.$$ Арифметический корень 2-й степени записывается без указания степени и называется квадратным корнем. Арифметический корень 3-ей степени называется кубическим корнем.

Свойства корней:
Для любых натуральных больших единицы $$n$$ и $$k,$$ для любых неотрицательных $$a$$ и $$b:$$

1. $$a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}$$

2. $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$$

3. $$\left (\sqrt[n]{a} \right )^k=\sqrt[n]{a^k}$$

4. $$\sqrt[n]{a}=\sqrt[nk]{a^k}$$

5. $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\; \left ( b\neq0 \right )$$

6. $$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$$

7. $$\left (\sqrt[n]{a} \right )^n=a\; (a\geqslant 0)$$

8. $$\sqrt{a^2}=|a|$$

9. $$\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|$$

10. $$\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a}\; \left ( a\geqslant 0 \right )$$

11. $$\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\; \left ( 0\leqslant a < b\right )$$

12. $$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\; \left ( a>0, b>0, a^2>b \right )$$

Советуем посмотреть примеры, в которых применяются свойства степеней и корней: Задание 3 (алгебра).

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!