23 задание ЗНО 2014

На рисунке изображен квадрат $$ABCD$$ со стороной 1 см и прямоугольный треугольник $$CDF$$, гипотенуза которого $$CF$$ равна $$\sqrt{5}$$ см. Фигуры лежат в одной плоскости. Установить соответствие между началом и концом предложения, чтобы получилось правильное утверждение.

Начало предложения

1. Длина катета $$FD$$  треугольника $$CDF$$ равна

2. Длина радиуса окружности, описанной около квадрата $$ABCD$$, равна

3. Расстояние от точки $$F$$ до прямой $$BC$$ равно

4. Расстояние от точки $$F$$ до прямой $$BD$$ равно

Конец предложения

А. 1 см

Б. $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ см

В. $$\sqrt{2}$$ см

Г. 2 см

Д. $$\sqrt{5}$$ см

Решение

1. По теореме Пифагора $$FD=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=2$$ см, т.е. ответ Г.

2. Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру данной окружности. По теореме Пифагора $$BD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$. Значит радиус окружности равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ см, т.е. ответ Б.

3. Расстояние от точки до прямой равно перпендикуляру, опущенному из данной точки на данную прямую. Точка $$F$$ лежит на параллельной к $$BC$$ прямой. Отсюда расстояние от точки $$F$$ до прямой $$BC$$ будет равно расстоянию от $$D$$ до $$BC$$, т.е. равно $$DC$$, а значит равно 1 см. Получили ответ А.

4. $$BD$$ — диагональ квадрата, делящая угол $$\angle D$$ пополам, т.е. $$\angle BDA=45^{\circ}$$. Опустим перпендикуляр из точки $$F$$ на продолжение прямой $$BD$$ и получим прямоугольный равнобедренный треугольник с углами при основании, равными по $$45^{\circ}$$ (предлагаем самостоятельно провести перпендикуляр на продолжение стороны и воспользоваться вертикальностью углов, суммой углов треугольника). По теореме Пифагора получим, что искомое расстояние будет равно $$\sqrt{\frac{FD^2}{2}}=\sqrt{2}$$ см. Получили ответ В.

Поделиться

Обратите внимание

Материалы по теме

Предыдущий материал22 задание ЗНО 2014
Следующий материал24 задание ЗНО 2014