Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних точок ($$F_1$$ і $$F_2$$ – фокуси) є величина стала, яка позначається $$2a$$, $$|F_1F_2|=2c$$, причому $$c>a$$.

Найпростіше (канонічне) рівняння гіперболи записується так:

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;(b^2=c^2-a^2).$$

При цьому вісь $$OX$$ проходить через фокуси гіперболи, а початок координат знаходиться на середині відрізка $$F_1F_2$$, тобто $$c$$ дорівнює віддалі від фокуса до початку координат $$O$$. Тому фокуси мають координати $$F_1(-c;0),\;F_2(c;0)$$. Осями симетрії гіперболи є осі координат, а точка $$O$$ – центр симетрії. Гіпербола перетинає вісь $$OX$$ в точках $$A_1(-a;0),\;A_2(a;0)$$, які називаються її дійсними вершинами, а величина $$OA_1=OA_2=a$$ – дійсною великою піввіссю гіперболи. Точки $$B_1(0;-b),\;B_2(0;b)$$ називаються уявними вершинами гіперболи, а величина $$OB_1=OB_2=b$$ – уявною малою піввіссю.

Прямокутник з центром в початку координат і зі сторонами, паралельними координатним вісям, які проходять через вершини гіперболи, називається основним прямокутником гіперболи. Його діагоналі $$y=\pm\frac{b}{a}x$$ є асимптоти гіперболи, тобто прямі, до яких необмежено наближаються гілки гіперболи. Ексцентриситет гіперболи $$\varepsilon=\frac{2c}{2a}>1$$.
Оскільки $$\varepsilon=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\left ( \frac{b}{a} \right )^2}$$, то $$\varepsilon$$ характеризує витягнутість основного прямокутника гіперболи.
Якщо $$a=b$$, то гіпербола називається рівносторонньою, основний прямокутник перетворюється у квадрат, $$\varepsilon=\sqrt{2}$$.

Якщо фокуси гіперболи розташовані на вісі $$OY$$, то:

$$\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2}=-1$$ — рівняння гіперболи;

$$x=\pm\frac{b}{a}y$$ — рівняння асимптот, де $$a$$ і $$b$$, як і вище, – дійсна і уявна напівосі;

$$A_1(0;-a),\;A_2(0;a),\;B_1(-b;0),\;B_2(b;0)$$ — координати вершин гіперболи;

$$F_1(0;-c),\;F_2(0;c)$$ — фокуси, де $$c^2=a^2+b^2$$.

Поделиться

Больше материалов

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування прямих на площині. Розглянемо деякі співвідношення, які...

Рівняння кривих другого порядку. Коло. Еліпс

Коло Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки $$C(a,b)$$ є постійною і дорівнює...

Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи чотирьох лінійних рівнянь с чотирма невідомими. Ідея...

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у просторі, Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається число, що дорівнює скалярному добутку вектора $$vec{a}"$$ на вектор, який...

Материалы по теме

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у...

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...