Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних точок ($$F_1$$ і $$F_2$$ – фокуси) є величина стала, яка позначається $$2a$$, $$|F_1F_2|=2c$$, причому $$c>a$$.

Найпростіше (канонічне) рівняння гіперболи записується так:

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;(b^2=c^2-a^2).$$

При цьому вісь $$OX$$ проходить через фокуси гіперболи, а початок координат знаходиться на середині відрізка $$F_1F_2$$, тобто $$c$$ дорівнює віддалі від фокуса до початку координат $$O$$. Тому фокуси мають координати $$F_1(-c;0),\;F_2(c;0)$$. Осями симетрії гіперболи є осі координат, а точка $$O$$ – центр симетрії. Гіпербола перетинає вісь $$OX$$ в точках $$A_1(-a;0),\;A_2(a;0)$$, які називаються її дійсними вершинами, а величина $$OA_1=OA_2=a$$ – дійсною великою піввіссю гіперболи. Точки $$B_1(0;-b),\;B_2(0;b)$$ називаються уявними вершинами гіперболи, а величина $$OB_1=OB_2=b$$ – уявною малою піввіссю.

Прямокутник з центром в початку координат і зі сторонами, паралельними координатним вісям, які проходять через вершини гіперболи, називається основним прямокутником гіперболи. Його діагоналі $$y=\pm\frac{b}{a}x$$ є асимптоти гіперболи, тобто прямі, до яких необмежено наближаються гілки гіперболи. Ексцентриситет гіперболи $$\varepsilon=\frac{2c}{2a}>1$$.
Оскільки $$\varepsilon=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\left ( \frac{b}{a} \right )^2}$$, то $$\varepsilon$$ характеризує витягнутість основного прямокутника гіперболи.
Якщо $$a=b$$, то гіпербола називається рівносторонньою, основний прямокутник перетворюється у квадрат, $$\varepsilon=\sqrt{2}$$.

Якщо фокуси гіперболи розташовані на вісі $$OY$$, то:

$$\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2}=-1$$ — рівняння гіперболи;

$$x=\pm\frac{b}{a}y$$ — рівняння асимптот, де $$a$$ і $$b$$, як і вище, – дійсна і уявна напівосі;

$$A_1(0;-a),\;A_2(0;a),\;B_1(-b;0),\;B_2(b;0)$$ — координати вершин гіперболи;

$$F_1(0;-c),\;F_2(0;c)$$ — фокуси, де $$c^2=a^2+b^2$$.

Поделиться

Больше материалов

Материалы по теме