Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних точок ($$F_1$$ і $$F_2$$ – фокуси) є величина стала, яка позначається $$2a$$, $$|F_1F_2|=2c$$, причому $$c>a$$.

Найпростіше (канонічне) рівняння гіперболи записується так:

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;(b^2=c^2-a^2).$$

При цьому вісь $$OX$$ проходить через фокуси гіперболи, а початок координат знаходиться на середині відрізка $$F_1F_2$$, тобто $$c$$ дорівнює віддалі від фокуса до початку координат $$O$$. Тому фокуси мають координати $$F_1(-c;0),\;F_2(c;0)$$. Осями симетрії гіперболи є осі координат, а точка $$O$$ – центр симетрії. Гіпербола перетинає вісь $$OX$$ в точках $$A_1(-a;0),\;A_2(a;0)$$, які називаються її дійсними вершинами, а величина $$OA_1=OA_2=a$$ – дійсною великою піввіссю гіперболи. Точки $$B_1(0;-b),\;B_2(0;b)$$ називаються уявними вершинами гіперболи, а величина $$OB_1=OB_2=b$$ – уявною малою піввіссю.

Прямокутник з центром в початку координат і зі сторонами, паралельними координатним вісям, які проходять через вершини гіперболи, називається основним прямокутником гіперболи. Його діагоналі $$y=\pm\frac{b}{a}x$$ є асимптоти гіперболи, тобто прямі, до яких необмежено наближаються гілки гіперболи. Ексцентриситет гіперболи $$\varepsilon=\frac{2c}{2a}>1$$.
Оскільки $$\varepsilon=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\left ( \frac{b}{a} \right )^2}$$, то $$\varepsilon$$ характеризує витягнутість основного прямокутника гіперболи.
Якщо $$a=b$$, то гіпербола називається рівносторонньою, основний прямокутник перетворюється у квадрат, $$\varepsilon=\sqrt{2}$$.

Якщо фокуси гіперболи розташовані на вісі $$OY$$, то:

$$\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2}=-1$$ — рівняння гіперболи;

$$x=\pm\frac{b}{a}y$$ — рівняння асимптот, де $$a$$ і $$b$$, як і вище, – дійсна і уявна напівосі;

$$A_1(0;-a),\;A_2(0;a),\;B_1(-b;0),\;B_2(b;0)$$ — координати вершин гіперболи;

$$F_1(0;-c),\;F_2(0;c)$$ — фокуси, де $$c^2=a^2+b^2$$.

Поделиться

Больше материалов

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у просторі, Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із однієї гілки. Аналітично вона є геометричним місцем...

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних...

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на...

Материалы по теме

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у...

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...