Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

реклама

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і розташування лінії. Знайти координати фокусів й інші параметри.

Розв’язування

Пропонуємо згадати теорію: Рівняння кривих другого порядку. Коло, Еліпс; Гіпербола; Парабола; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду та інші приклади приведення до найпростішого виду: Коло; Гіпербола; Парабола.

Після групування членів, які містять лише $$x$$ і $$y$$, винесення за дужки коефіцієнтів при $$x^2$$ і $$y^2$$, доповнення до повних квадратів знайдемо
$$9(x-5)^2+16(y+1)^2=144.$$

Позначаємо

$$\left\{\begin{matrix} x^{\prime} = x — 5\\ y^{\prime} = y + 1 \end{matrix}\right.$$

або

$$\left\{\begin{matrix} x = x^{\prime} + 5\\ y = y^{\prime} — 1 \end{matrix}\right.$$

$$9{x^{\prime}}^2+16{y^{\prime}}^2=144$$ є рівняння еліпса в новій системі координат, після почленного ділення на 144 отримаємо:

$$\frac{{x^{\prime}}^2}{16}+\frac{{y^{\prime}}^2}{9}=1$$.

Напівосі дорівнюють $$a=4,\;b=3$$. Координати центра в старій системі $$O'(5;-1)$$. Віддаль фокусів від центра $$c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2.6$$. Нові координати правого фокуса $${F_2}^{\prime}(\sqrt{7};0)$$, а його старі координати $$F_2(\sqrt{7}+5;-1)$$. Нові координати лівого фокуса $${F_1}^{\prime}(-\sqrt{7};0)$$, а його старі координати $$F_1(-\sqrt{7}+5;-1)$$.

Координати вершин: $$A_1(1;-1)$$, $$A_2(9;-1)$$, $$B_1(5;-4)$$, $$B_2(5;2)$$ в старій системі; $$A^{\prime}_1(-4;0)$$, $$A^{\prime}_2(4;0)$$, $$B^{\prime}_1(0;-3)$$ — в новій системі. Зробимо відповідний рисунок.

Поделиться

Больше заданий

реклама

Материалы по теме