Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і розташування лінії. Знайти координати фокусів й інші параметри.

Розв’язування

Пропонуємо згадати теорію: Рівняння кривих другого порядку. Коло, Еліпс; Гіпербола; Парабола; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду та інші приклади приведення до найпростішого виду: Коло; Гіпербола; Парабола.

Після групування членів, які містять лише $$x$$ і $$y$$, винесення за дужки коефіцієнтів при $$x^2$$ і $$y^2$$, доповнення до повних квадратів знайдемо
$$9(x-5)^2+16(y+1)^2=144.$$

Позначаємо

$$\left\{\begin{matrix} x^{\prime} = x — 5\\ y^{\prime} = y + 1 \end{matrix}\right.$$

або

$$\left\{\begin{matrix} x = x^{\prime} + 5\\ y = y^{\prime} — 1 \end{matrix}\right.$$

$$9{x^{\prime}}^2+16{y^{\prime}}^2=144$$ є рівняння еліпса в новій системі координат, після почленного ділення на 144 отримаємо:

$$\frac{{x^{\prime}}^2}{16}+\frac{{y^{\prime}}^2}{9}=1$$.

Напівосі дорівнюють $$a=4,\;b=3$$. Координати центра в старій системі $$O'(5;-1)$$. Віддаль фокусів від центра $$c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2.6$$. Нові координати правого фокуса $${F_2}^{\prime}(\sqrt{7};0)$$, а його старі координати $$F_2(\sqrt{7}+5;-1)$$. Нові координати лівого фокуса $${F_1}^{\prime}(-\sqrt{7};0)$$, а його старі координати $$F_1(-\sqrt{7}+5;-1)$$.

Координати вершин: $$A_1(1;-1)$$, $$A_2(9;-1)$$, $$B_1(5;-4)$$, $$B_2(5;2)$$ в старій системі; $$A^{\prime}_1(-4;0)$$, $$A^{\prime}_2(4;0)$$, $$B^{\prime}_1(0;-3)$$ — в новій системі. Зробимо відповідний рисунок.

Поделиться

Больше заданий

Задание 8 (Прогрессии. Геометрия)

Числа, выражающие длины сторон прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию. Меньший катет этого треугольника равен $$a.$$ Найти площадь треугольника.

Задание 51 (Логарифмическое неравенство)

Решение логарифмического неравенства (задание 51) по запросу из группы ВКонтакте..

Задание 45 (Логарифмы)

Продолжаем подготовку к ДПА и ЗНО по математике. Предлагаем задание на упрощение логарифмического выражения с использованием свойств логарифмов.

Задание 40 (Геометрия. 8 класс)

В рамках подготовки к ДПА по математике предлагаем геометрическую задачу на нахождение расстояния от точки до прямой через наклонные и их проекции.

Задание 6 (Тригонометрия)

Доказать, что: $$sin^6x+cos^6xgeqslant 0.25$$ Рекомендуем ознакомиться с основными формулами: Формулы сокращенного умножения, Тригонометрические формулы.

Материалы по теме

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у...

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок...