Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у просторі, Взаємне розташування двох прямих у просторі.

При сумісному розгляді площини і прямої у просторі актуальними є наступні питання:

а) Кут $$\psi$$ між прямою $$(a)\;\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$ і площиною $$(\alpha)\;Ax+By+Cz+D=0$$ визначається через $$\sin\psi=\cos\phi,$$ $$(\phi+\psi=\frac{\pi}{2})$$.

$$\sin\psi=\frac{\vec{N}\cdot\vec{S}}{|\vec{N}|\cdot|\vec{S}|}=\frac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$$.

Якщо $$a\parallel\alpha\;(\vec{S}\perp\vec{N})$$, то $$Al+Bm+Cn=0$$.

Якщо $$a\perp\alpha\;(\vec{S}\parallel\vec{N})$$, то $$\frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}$$.

б) Якщо пряма $$a$$ і площина $$\alpha$$ перетинаються, то точка їх перетину визначається наступним чином: використовується рівняння прямої в параметричній формі: значення $$x$$, $$y$$ і $$z$$ виражають через $$t$$, підставляють в рівняння площини, в наслідок чого отримуємо рівняння, яке залежить від однієї змінної $$t$$. Його розв’язування дає значення $$t_0$$, яке підставляється у вирази $$x$$, $$y$$ і $$z$$ через $$t$$. Знаходять $$P(x_0;y_0;z_0)$$.

Якщо канонічне рівняння прямої задовольняється при будь-якому значенні $$t$$, то пряма не перетинає площину, а повністю лежить на цій площині. В цьому випадку $$Al+Bm+Cn=0$$ (паралельність прямої і площини) і $$A x_0+B y_0+C z_0+D=0$$ (задана точка прямої належить площині).

Поделиться

Больше материалов

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається число, що дорівнює скалярному добутку вектора $$vec{a}"$$ на вектор, який...

Рівняння кривих другого порядку. Коло. Еліпс

Коло Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки $$C(a,b)$$ є постійною і дорівнює...

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у будь-якій системі координат повинно характеризуватись однозначно. Поняття системи координат являє...

Елементи теорії визначників і матриць

Основні означення Запис $$A_{(ntimes m)}$$ слід читати, як матриця $$A$$ розмірності $$(ntimes m)$$, де $$n$$ - кількість рядків,...

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Материалы по теме

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок...