Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у просторі, Взаємне розташування двох прямих у просторі.

При сумісному розгляді площини і прямої у просторі актуальними є наступні питання:

а) Кут $$\psi$$ між прямою $$(a)\;\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$ і площиною $$(\alpha)\;Ax+By+Cz+D=0$$ визначається через $$\sin\psi=\cos\phi,$$ $$(\phi+\psi=\frac{\pi}{2})$$.

$$\sin\psi=\frac{\vec{N}\cdot\vec{S}}{|\vec{N}|\cdot|\vec{S}|}=\frac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$$.

Якщо $$a\parallel\alpha\;(\vec{S}\perp\vec{N})$$, то $$Al+Bm+Cn=0$$.

Якщо $$a\perp\alpha\;(\vec{S}\parallel\vec{N})$$, то $$\frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}$$.

б) Якщо пряма $$a$$ і площина $$\alpha$$ перетинаються, то точка їх перетину визначається наступним чином: використовується рівняння прямої в параметричній формі: значення $$x$$, $$y$$ і $$z$$ виражають через $$t$$, підставляють в рівняння площини, в наслідок чого отримуємо рівняння, яке залежить від однієї змінної $$t$$. Його розв’язування дає значення $$t_0$$, яке підставляється у вирази $$x$$, $$y$$ і $$z$$ через $$t$$. Знаходять $$P(x_0;y_0;z_0)$$.

Якщо канонічне рівняння прямої задовольняється при будь-якому значенні $$t$$, то пряма не перетинає площину, а повністю лежить на цій площині. В цьому випадку $$Al+Bm+Cn=0$$ (паралельність прямої і площини) і $$A x_0+B y_0+C z_0+D=0$$ (задана точка прямої належить площині).

Поделиться

Больше материалов

Розв’язування систем лінійних рівнянь

Прежде чем приступать к рассмотрению данной темы, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей и матриц. Основні означення

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних...

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається вектор $$vec{b}$$, який задовольняє наступним умовам:

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Материалы по теме

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок...