Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Розв’язування.

Згадаємо теорію: Рівняння кривих другого порядку. Коло, Еліпс; Гіпербола; Парабола; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду. Згадаємо інші приклади: Коло; Еліпс; Парабола.

Після згрупування членів, які містять лише $$x$$ і $$y$$, доповнення до повних квадратів знайдемо $$(x-2)^2-(y-1)^2+4=0$$.

Потім позначаємо

$$\left\{\begin{matrix} x^{\prime} = x — 2\\ y^{\prime} = y — 1 \end{matrix}\right.$$

або

$$\left\{\begin{matrix} x = x^{\prime} + 2\\ y = y^{\prime} + 1 \end{matrix}\right.$$

Геометрично це означає, що ми повинні зробити паралельний переніс початку координат в точку $$O^{\prime}(2;1)$$. Після операції переносу отримаємо

$${x^{\prime}}^2-{y^{\prime}}^2+4=0$$

або

$$\frac{{x^{\prime}}^2}{4}-\frac{{y^{\prime}}^2}{4}=-1$$.

Це рівняння гіперболи, центр якої розташований в точці $$O^{\prime}(2;1)$$. Оскільки півосі дорівнюють $$a=b=2$$, то це рівностороння гіпербола, дійсна (фокальна) вісь якої направлена по $$O^{\prime}y^{\prime}$$. На ній розташовані фокуси $$F_1$$ і $$F_2$$ на віддалі $$c=\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{2}$$ від центра $$O^{\prime}$$. Значить, нові координати фокусів $$x^{\prime}=0,\; y^{\prime}=\pm2\sqrt{2}$$. На основі формул паралельного переносу запишемо старі координати фокусів: $$F_1(2;1-2\sqrt{2}),\;F_2(2;1+2\sqrt{2}).$$

Виконаємо рисунок цієї гіперболи

Поделиться

Больше заданий

Задание 44 (текстовая задача)

1 и 2 краны наполняют ванну водой за 20 мин, 2 и 3 - за 15 мин, а 1 и 3 - за 12 мин. За сколько минут наполняют такую же ванну три крана, работая вместе?

Задание 60 (система с параметром)

Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений $$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду; Формули скороченого...

Задание 48 (логарифмы)

Свойства логарифмов (задание 48). Задание из группы ВКонтакте

Задание 45 (Логарифмы)

Продолжаем подготовку к ДПА и ЗНО по математике. Предлагаем задание на упрощение логарифмического выражения с использованием свойств логарифмов.

Материалы по теме

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у...

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і...

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок...