Решение простейших тригонометрических уравнений

Предлагаем ознакомится с материалами по тригонометрии: Определение тригонометрических функций, Свойства обратных тригонометрических функций, Значения обратных тригонометрических функций.

В общем виде

$$\sin x=a,\;|a|\leqslant 1\Rightarrow x=(-1)^k\arcsin\,a+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

или $$\left[\begin{matrix} x&=&\arcsin\,a+2\pi k,&\;k\in\mathbb{Z}\\ x&=&\pi-\arcsin\,a+2\pi l,&\;l\in\mathbb{Z} \end{matrix}\right.$$

$$\cos x=a,\;|a|\leqslant 1\Rightarrow x=\pm\arccos\,a+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{tg}\, x=a,\;a\in\mathbb{R}\Rightarrow x=\text{arctg}\,a+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{ctg}\, x=a,\;a\in\mathbb{R}\Rightarrow x=\text{arcctg}\,a+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

Частные случаи

a = 0

$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{tg}\, x=0\Rightarrow x=\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{ctg}\, x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

a = 1

$$\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=1\Rightarrow x=2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{tg}\, x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{ctg}\, x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

a = – 1

$$\sin x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{tg}\, x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$\text{ctg}\, x=-1\Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

Поделиться

Больше материалов

Степени и корни. Их свойства

$$a^x$$ называется степенью с основанием $$a$$ и показателем $$x,$$ если $$a$$ перемножается само на себя $$x$$ разСвойства степеней:

Прогрессии

Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия - последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть сумма предыдущего члена и...

Тригонометрические функции двойного, половинного и тройного аргументов

Синус двойного угла: $$sin 2alpha=2sinalphacosalpha=frac{2text{tg}alpha}{1+text{tg}^2alpha}$$ Косинус двойного угла: $$cos 2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=1-2sin^2alpha=2cos^2alpha-1=frac{1-text{tg}^2alpha}{1+text{tg}^2alpha}$$

Степенная функция

Степенной функцией называется функция вида $$y=x^{alpha}.$$ Виды графиков степенной функции в зависимости от $$alpha:$$ 1. $$alpha=n$$...

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Произведение синусов есть полуразность косинуса разности и косинуса суммы: $$sin xsin y=frac{1}{2}left $$ Произведение...

Материалы по теме

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

21 задание пробного ЗНО 2015

Решение 21 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

13 задание пробного ЗНО 2015

Решение 13 тестового задания по математике пробного ЗНО 2015..

Тригонометрические выражения

Пройдите онлайн тест по теме "Тригонометрические выражения" и узнайте, насколько Вы подготовлены к ДПА и ЗНО..

Задание 52

Задание на доказательство. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение..

14 задание ЗНО 2014

Решение 14 задание ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание...