Задание 7 (числовое неравенство, метод интервалов)

Решить неравенство:

$$(4+2x)(4+x)(1-x)(x-3)\geqslant 18$$

Решение:

$$2(x+2)(x+4)(-1)(x-1)(x-3)-18\geqslant 0$$

Разделим обе части неравенства на $$-2$$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный).

$$(x+2)(x+4)(x-1)(x-3)+9\leqslant 0$$

Заметим, что если сложить свободные члены в 1-й и 3-й скобках и во 2-й и в 4-й скобках, то получим по 1. Расположим скобки следующим образом:

$$(x+2)(x-1)(x+4)(x-3)+9\leqslant 0$$

Перемножим двучлены из 1-й и 2-й скобок, а также из 3-й и 4-й скобок:

$$(x^2+x-2)(x^2+x-12)+9\leqslant 0$$

Замена:

$$x^2+x-2=t$$

$$t(t-10)+9\leqslant0$$

$$t^2-10t+9\leqslant0$$

Рассмотрим уравнение:

$$t^2-10t+9=0$$

По теореме Виета:

$$t_{1}+t_{2}=10,\; t_{1}\cdot t_{2}=9\Rightarrow t_{1}=1,\; t_{2}=9$$

Применим формулу разложения квадратного трехчлена на множители:

$$t^2-10t+9=(t-1)(t-9)$$

$$(t-1)(t-9)\leqslant0$$

Используем метод интервалов:

$$t\in[1;9]\Rightarrow 1\leqslant t\leqslant 9$$

Обратная замена:

$$1\leqslant x^2+x-2\leqslant 9$$

Перейдем к эквивалентной системе:

$$\left\{\begin{matrix} x^2+x-2\geqslant1\\ x^2+x-2\leqslant9 \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} x^2+x-3\geqslant0\\ x^2+x-11\leqslant0 \end{matrix}\right.$$

Для каждого из неравенств системы запишем соответствующие им уравнения и найдем их корни:

$$\begin{matrix} x^2+x-3=0\;\;& \;\;\;\;\;\;\;\;\; &\;\;\;\;\;\;\;\;\; x^2+x-11=0\;\;\;\;\;\;\\ D=1+12=13 & \;\;\;\;\;\;\;\;\; &\;\;\; D=1+44=45\\ x_{1}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\;\;\;\;\;\; & \;\;\;\;\;\;\;\;\; &x_{1}=\frac{-1-3\sqrt{5}}{2}\;\;\;\\ x_{2}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\;\;\;\;\;\;&\;\;\;\;\;\;\;\;\; & x_{2}=\frac{-1+3\sqrt{5}}{2}\;\;\; \end{matrix}$$

Далее, как и в предыдущем случае, воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители. Получим систему неравенств:

$$\left\{\begin{matrix} (x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})\geqslant0\\\\ (x-\frac{-1-3\sqrt{5}}{2})(x-\frac{-1+3\sqrt{5}}{2})\leqslant0 \end{matrix}\right.$$

Для каждого из неравенств применим метод интервалов и получим:

$$\left\{\begin{matrix} x\in(-\infty; \frac{-1-\sqrt{13}}{2}]\cup [\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty)\\\\ x\in [\frac{-1-3\sqrt{5}}{2};\frac{-1+3\sqrt{5}}{2}]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\end{matrix}\right.$$

Найдем пересечение полученных множеств:

Получили:

$$x\in\left [-\frac{1+3\sqrt{5}}{2}; -\frac{1+\sqrt{13}}{2} \right ]\cup\left [ \frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{-1+3\sqrt{5}}{2} \right ]$$

Поделиться

Больше заданий

Задание 50 (логарифмы)

Решение задания 50 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Связь между площадями фигур (задача 5 класса)

Решение на основе знаний учеников 5 класса о площадях квадрата и треугольника..

Числовой автомат «ТЮМ–XVI»

Предлагаем Вашему вниманию конкурсную задачу из турнира юных математиков. Задание Числовой автомат «ТЮМ-XVI» может выполнять такие...

Задание 39 (текстовая задача на движение)

Продолжаем готовиться к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по математике. Предлагаем Вашему вниманию текстовую задачу на движение. Задача

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду. Розв’язування. Згадаємо теорію: Рівняння кривих другого...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 58 (неравенства)

Решить неравенство $$\sqrt{x+6} > \sqrt{x+1} + \sqrt{2x-5}$$

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

28 задание пробного ЗНО 2015

Решение 28 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

30 задание ЗНО 2014

Решение 30 задания ЗНО 2014 по математике..

29 задание ЗНО 2014

Решение 29 задание ЗНО 2014 по математике..
Предыдущий материалОб’єкти СУБД Access
Следующий материалМногочлены