ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 33 задание

При каком наибольшем отрицательном значении параметра $$a$$
уравнение $$\sqrt[4]{|x|-1}-2x=a$$ имеет один корень?

Решение

В условии задания сказано, что необходимо найти наибольшее отрицательное значение параметра (читай функции) $$a(x),$$ при котором уравнение имеет 1 корень. Рассмотрим данную функцию $$a(x)=\sqrt[4]{|x|-1}-2x.$$ Корень существует при $$|x|-1\geqslant 0,$$ или $$x \in (-\infty; -1]\cup[1; \infty).$$ Так как значение параметра по условию должно быть отрицательным, то $$\sqrt[4]{|x|-1}-2x < 0,$$ но $$\sqrt[4]{|x|-1} > 0$$ всегда (корень четной степени), значит $$2x>\sqrt[4]{|x|-1}>0,$$ т.е. $$x>0$$ (чтобы выполнялось условие задания), а с учетом ОДЗ корня $$x\geqslant1.$$ Следовательно в контексте условия $$|x|=x.$$ То есть $$a(x)=\sqrt[4]{x-1}-2x.$$

Для нахождения наибольшего значения функции $$a(x)$$ необходимо найти первую производную и приравнять ее к нулю.

$$a$$’$$(x)=(\sqrt[4]{x-1}-2x)$$’$$=\frac{1}{4(x-1)^{\frac{3}{4}}}-2$$

Найдем критические точки (критическая точка может быть точкой минимума, максимума или точкой перегиба), когда производная равна нулю, либо не существует.

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение

$$\frac{1}{4(x-1)^{\frac{3}{4}}}-2=0$$

$$\frac{1}{4(x-1)^{\frac{3}{4}}}=2$$

$$\frac{1}{4\cdot2}=(x-1)^{\frac{3}{4}}$$

Воспользуемся свойствами корней и степеней

$$((x-1)^{\frac{1}{4}})^3=(\frac{1}{2})^3$$

Извлечем корни третьей степени из обеих частей равенства

$$(x-1)^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$

Возведем в 4-ю степень обе части уравнения

$$x-1=\frac{1}{16}$$

$$x=1\frac{1}{16}$$ — критическая точка.

Производная не существует при $$x=1$$ — критическая точка.

Для того, чтобы показать, что критическая точка является максимумом, достаточно показать, что производная меняет знак с «+» на «-» при переходе через эту точку слева направо.

Возьмем точку на интервале $$[1;\infty),$$ расположенную правее $$x=1$$ и левее $$x=1.0625:$$ $$x=1.0001$$ $$(1<1.0001<1.0625)$$ Подставим в производную $$\frac{1}{4(1.0001-1)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4(0.0001)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4\cdot 0.001}-2=\frac{1000}{4}-2=250-2=248>0$$

Т.е. $$x=1$$ уже не может быть максимумом, а слева от критической точки $$x=1.0625$$ производная имеет знак «+»

Возьмем точку, расположенную правее $$x=1.0625:$$ $$x=2>1.0625$$

Подставим ее в производную

$$\frac{1}{4(2-1)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4(1)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4}-2=0.25-2=-1.75<0$$

Т.е. справа от критической точки производная имеет знак «-«

Значит $$x=1.0625$$ — точка максимума.

Подставим ее в функцию $$a(x)$$ и получим наибольшее отрицательное значение параметра $$a$$ на интервале $$[1;\infty)$$

$$\sqrt[4]{1\frac{1}{16}-1}-2\cdot\frac{17}{16}=\frac{1}{2}-\frac{34}{16}=\frac{8-34}{16}=-\frac{26}{16}=-1\frac{10}{16}=-1.625$$

Ответ: $$-1.625$$

Поделиться

Обратите внимание

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 1-4

Если Вы набрали малое количество баллов в бесплатном онлайн тесте ПЗНО 2013, то в рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 5-8

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем ознакомиться с решением четырех тестовых заданий (задания 5-8) пробного ЗНО 2013 от...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 9-12

Продолжаем готовиться к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по математике. Предлагаем решения следующих четырех тестовых заданий с выбором одного...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 13-16

Мы уже рассмотрели решения двенадцати тестовых заданий (1-4; 5-8; 9-12) с выбором 1 правильного ответа пробного ЗНО по математике от 30 марта...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 17-20

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО рассмотрим последние четыре тестовых задания (17-20) первого типа (выбор одного правильного ответа из пяти предложенных).

Материалы по теме

Задание 61 (уравнение с параметром)

Найдите все значения параметра $$p$$, при которых все корни уравнения $$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны.

Задание 60 (система с параметром)

Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений $$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

34 задание ЗНО 2014

Решение 34 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Тест «Целые уравнения» с выбором ответа

Оцените, насколько Вы готовы к ДПА и ЗНО по математике, пройдя онлайн тест "Целые уравнения" с выбором ответа.