Задание 61 (уравнение с параметром)

Найдите все значения параметра $$p$$, при которых все корни уравнения
$$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны.

Решение

1) $$p=3$$

$$-6x+18=0$$

$$x=3 > 0$$

2) $$p\neq 3$$

Разделим на $$p-3$$

$$x^2-\frac{2p}{p-3}\cdot x+\frac{6p}{p-3}=0$$

Выделим полный квадрат в многочлене $$x^2-\frac{2p}{p-3}\cdot x+\frac{6p}{p-3}$$

$$[x^2-2\cdot\frac{p}{p-3}\cdot x+(\frac{p}{p-3})^2]-(\frac{p}{p-3})^2+\frac{6p}{p-3}=$$

$$=(x-\frac{p}{p-3})^2-(\frac{p}{p-3})^2+\frac{6p}{p-3}=(x-\frac{p}{p-3})^2+\frac{-p^2+6p^2-18p}{(p-3)^2}=$$

$$=(x-\frac{p}{p-3})^2+\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2}$$

$$(x-\frac{p}{p-3})^2+\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2}$$ — парабола, ветви которой направлены вверх, $$x_{\text{вершины}}=\frac{p}{p-3}$$, $$y_{\text{вершины}}=\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2}$$.

Корни будут положительными, когда $$x_{\text{вершины}} > 0$$, $$y_{\text{вершины}} \leqslant 0$$ (парабола в правой полуплоскости, а точнее — вершина в IV четверти или на оси $$OX$$)

Решим эти неравенства

$$\frac{p}{p-3} > 0$$

Решая методом интервалов, получим $$p\in(-\infty;0)\cup(3;\infty)$$

$$\frac{5p^2-18p}{(p-3)^2} \leqslant 0$$

$$\frac{5p(p-\frac{18}{5})}{(p-3)^2}\leqslant 0$$

Умножим на $$(p-3)^3 > 0$$ и разделим на $$5 > 0$$

Получим эквивалентное неравенство

$$p(p-\frac{18}{5}) \leqslant 0$$

Решая его методом интервалов, получим $$p\in[0;3)\cup(3;3.6]$$

Пересекая $$p\in(-\infty;0)\cup(3;\infty)$$ и $$p\in[0;3)\cup(3;3.6]$$, получим $$p\in(3;3.6]$$

Найдем корни уравнения $$x^2-\frac{2p}{p-3}\cdot x+\frac{6p}{p-3}=0$$ и проверим их положительность

$$D_1=(\frac{p}{p-3})^2-\frac{6p}{p-3}=\frac{-5p^2+18p}{(p-3)^2}$$

Корни существуют при $$D_1 \geqslant 0$$, что совпадает с условием $$y_{\text{вершины}} \leqslant 0$$, а значит корни существуют при $$p\in(3;3.6]$$

$$x_{1,2}=\frac{p\pm\sqrt{18p-5p^2}}{p-3}$$

Очевидно, что при $$p\in(3;3.6]$$ $$0\leqslant\sqrt{5p(3.6-p)} < 3$$ Тогда $$\frac{p-\sqrt{18p-5p^2}}{p-3} > 0$$ и $$\frac{p+\sqrt{18p-5p^2}}{p-3} > 0$$

3) Итак, получили, что корни уравнения $$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны при $$p\in[3;3.6]$$

Ответ: $$p\in[3;3.6]$$

Поделиться

Больше заданий

Задание 52

Задание на доказательство. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение..

Задание 58 (неравенства)

Решить неравенство $$\sqrt{x+6} > \sqrt{x+1} + \sqrt{2x-5}$$

Задание 64 (угол между часовой и минутной)

Найдите угол между часовой и минутной стрелками в 7 часов 38 минут

Задание 44 (текстовая задача)

1 и 2 краны наполняют ванну водой за 20 мин, 2 и 3 - за 15 мин, а 1 и 3 - за 12 мин. За сколько минут наполняют такую же ванну три крана, работая вместе?

Задание 12 (нахождение производных)

Найти производную Перед тем, как приступить к решению задания, рекомендуем ознакомиться с таблицей производных, основными правилами дифференцирования, нахождением производной...

Материалы по теме

Задание 60 (система с параметром)

Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений $$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

34 задание ЗНО 2014

Решение 34 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Тест «Целые уравнения» с выбором ответа

Оцените, насколько Вы готовы к ДПА и ЗНО по математике, пройдя онлайн тест "Целые уравнения" с выбором ответа.

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 33 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 33 задание...

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 33 задание

Знайдіть значення параметра $$a,$$ при якому корінь рівняння $$lg(sin 5pi x)=sqrt{16+a-x}$$ належить...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок 33 завдання

Решение 33 тестового задания пробного ВНО (ЗНО) 2013 по математике...

ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 29-32

Решение тестовых заданий 29-32 2 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...

ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 31-36]

Задание 31 Використовуючи графік рівняння $$|y|=1-|x-12|$$ (див. рисунок),...

ВНО 2011 по математике [задания 29-35]

Задание 29 Обчисліть значення виразу $$frac{3sqrt{2}-5}{sqrt{2}-1}+frac{sqrt{24}-sqrt{300}}{sqrt{3}}.$$.

ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 21-32]

Решение тестовых заданий 21-32 1 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...
Предыдущий материалЗадание 60 (система с параметром)
Следующий материалЗадание 62 (геометрия)