ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 29-32

Задание №29

Обчисліть $$(\sqrt{20})^{2+\log_{20}16}.$$

Решение:

$$(\sqrt{20})^{2+\log_{20}16}=(20)^{\frac{1}{2}\left ( 2+\log_{20}16 \right )}=(20)^{1+\log_{20}4}=20\cdot20^{\log_{20}4}=20\cdot4=80$$

Ответ: 80.

Задание №30

Обчисліть $$\int_{0}^{7}f(x)dx,$$ використовуючи зображений на рисунку графік лінійної функції $$y=f(x).$$

Решение:

Площадь прямоугольника равна $$7\cdot8=56,$$ площадь треугольника равна $$\frac{1}{2}\cdot5\cdot7=17.5.$$ Интеграл равен площади фигуры, которая получается вычитанием площади треугольника от площади прямоугольника: $$\int_{0}^{7}f(x)dx=56-17.5=38.5.$$

Ответ: 38.5

Задание №31

За основою прямої трикутної призми $$ABCA_1B_1C_1$$ є рівнобедрений трикутник $$ABC$$, де $$AB=BC=25$$ см, $$AC=30$$ см. Через бічне ребро $$AA_1$$ призми проведено площину, перпендикулярну до ребра $$BC.$$ Визначте об’єм призми (у см3), якщо площа утвореного перерізу дорівнює 72 см2.

Решение:

$$V=S\cdot H$$ — объем призмы, где $$S$$ — площадь основания призмы (площадь равнобедренного треугольника $$ABC$$), $$H$$ — высота прямой призмы (совпадает с ребром $$AA_1$$).

$$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_{BC}$$ — площадь треугольника $$ABC,$$ где $$h_{BC}$$ — высота треугольника к стороне $$BC.$$

$$S_1=H\cdot h_{BC}$$ — площадь сечения (площадь прямоугольника).

Найдем объем призмы:

$$V=S\cdot H=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_{BC}\cdot H=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot S_1=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 72=900$$

Ответ: 900.

Задание №32

При якому найменшому значенні $$a$$ рівняння

$$\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}+(14-2a)\cdot\sqrt[4]{x-3}+32=6a$$

має хоча б один корінь?

Решение:

ОДЗ: $$x-3\geqslant 0\Rightarrow x\geqslant 3$$

Выполним преобразования:

$$\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}=\sqrt{x-3+1+2\cdot\sqrt{x-3}\cdot1}=$$

$$=\sqrt{(\sqrt{x-3})^2+1^2+2\cdot\sqrt{x-3}\cdot1}=\sqrt{(\sqrt{x-3}+1)^2}=|\sqrt{x-3}+1|=$$

$$=\sqrt{x-3}+1$$

Подставим в первоначальное уравнение:

$$\sqrt{x-3}+1+(14-2a)\cdot\sqrt[4]{x-3}+32=6a$$

Сделаем замену:

$$\sqrt[4]{x-3}=t\geqslant 0$$

$$t^2+(14-2a)t+33-6a=0$$

$$t^2+2(7-a)t+33-6a=0$$

Найдем дискриминант для полученного квадратного уравнения:

$$D_1=(7-a)^2-(33-6a)=49+a^2-14a-33+6a=a^2-8a+16=(a-4)^2$$

Уравнение имеет хотя бы 1 корень, если дискриминант неотрицательный. В нашем случае дискриминант равен полному квадрату, который всегда неотрицателен.

1. $$(a-4)^2= 0\Rightarrow a=4$$

$$t=a-7=4-7=-3$$ — посторонний корень

2. $$(a-4)^2> 0\Rightarrow a\neq4$$

$$t_{1,2}=a-7\pm\sqrt{(4-a)^2}=a-7\pm |4-a|$$

$$t_{1,2}=a-7\pm 4\mp a$$ (смотрите опеределение модуля)

$$t=-3$$ — посторонний корень

$$t=2a-11\geqslant 0\Rightarrow a\geqslant 5.5$$

Наименьшее значение параметра $$a = 5.5.$$

Ответ: 5.5

Поделиться

Обратите внимание

ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 1-10]

Решение тестовых заданий 1-10 ВНО (ЗНО) - 2012 по математике. Основное тестирование. 1 сессия...

ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 11-20]

Задание 11 У залі кінотеатру 18 рядів. У першому ряду знаходяться 7 місць, а в кожному наступному ряду...

ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 21-32]

Решение тестовых заданий 21-32 1 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...

ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 1-4

Предлагаем ознакомиться с тестовыми заданиями второй сессии внешнего независимого оценивания (ВНО) по математике за 2012 год в формате PDF

ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 5-8

Решение заданий 5-8 Задание 5 Використовуючи зображені на рисунку графіки...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.