Определенный интеграл и его свойства

Неформально говоря, определённый интеграл является площадью криволинейной трапеции.

Геометрический смысл определенного интеграла

Определённый интеграл $$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx$$ численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми $$x=a$$ и $$x=b$$ и графиком функции $$y=f(x).$$

Формула Ньютона-Лейбница

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a),\;F'(x)=f(x)$$

Метод подстановки для определенного интеграла

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f[\phi(t)]\phi'(t)\,dt,\;x=\phi(t),\;\phi(\alpha)=a,\;\phi(\beta)=b$$

Интегрирование по частям для определенного интеграла

$$\int\limits_{a}^{b}u(x)\,dv(x)=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v(x)\,du(x)$$

Свойства определенного интеграла

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = -\int\limits_{b}^{a}f(x) \, dx,\; a < b $$

$$\int\limits_{a}^{a}f(x)\,dx=0$$

$$\int\limits_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]\,dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\pm\int\limits_{a}^{b}g(x)\,dx$$

$$\int\limits_{a}^{b}kf(x)\,dx=k\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx,\;k=\text{const}$$

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+\int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx$$

Также рекомендуем ознакомиться с материалами по теме: Основные неопределенные интегралы, Основные свойства и правила интегрирования.

Поделиться

Больше материалов

Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение

Для разных углов: Сумма синусов есть удвоенное произведение синуса полусуммы на косинус полуразности: $$sin x+sin...

Формулы приведения

Можно не заучивать формулы приведения тригонометрических функций. Достаточно знать правило, состоящее из двух пунктов. Правило

Свойства обратных тригонометрических функций

Так как геометрически значение обратной тригонометрической функции связано с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному...

Прогрессии

Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия - последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть сумма предыдущего члена и...

Дробно-рациональные выражения

Определения. Основные действия с дробями.

Материалы по теме

32 задание ЗНО 2014

Решение 32 задания ЗНО 2014 по математике..

19 задание пробного ЗНО 2015

Решение 19 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 30 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 30 задание...

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 24 задание

Задание 24 На рисунку зображено графік функції $$y=f(x),$$...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок 31 завдання

Рассмотрим задачу (задание №31 ПЗНО 2013 по математике) на  геометрический смысл определенного...

Основные свойства и правила интегрирования

Основные свойства и правила Производная от неопределенного интеграла есть...

Основные неопределенные интегралы

Определения неопределенного интеграла и первообразной. 16 основных неопределенных интегралов..

ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 29-32

Решение тестовых заданий 29-32 2 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...

ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 21-32]

Решение тестовых заданий 21-32 1 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...