Определенный интеграл и его свойства

Неформально говоря, определённый интеграл является площадью криволинейной трапеции.

Геометрический смысл определенного интеграла

Определённый интеграл $$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx$$ численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми $$x=a$$ и $$x=b$$ и графиком функции $$y=f(x).$$

Формула Ньютона-Лейбница

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a),\;F'(x)=f(x)$$

Метод подстановки для определенного интеграла

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\int\limits_{\alpha}^{\beta}f[\phi(t)]\phi'(t)\,dt,\;x=\phi(t),\;\phi(\alpha)=a,\;\phi(\beta)=b$$

Интегрирование по частям для определенного интеграла

$$\int\limits_{a}^{b}u(x)\,dv(x)=u(x)v(x)|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}v(x)\,du(x)$$

Свойства определенного интеграла

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx = -\int\limits_{b}^{a}f(x) \, dx,\; a < b $$

$$\int\limits_{a}^{a}f(x)\,dx=0$$

$$\int\limits_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]\,dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\pm\int\limits_{a}^{b}g(x)\,dx$$

$$\int\limits_{a}^{b}kf(x)\,dx=k\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx,\;k=\text{const}$$

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=\int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+\int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx$$

Также рекомендуем ознакомиться с материалами по теме: Основные неопределенные интегралы, Основные свойства и правила интегрирования.

Поделиться

Больше материалов

Степени и корни. Их свойства

$$a^x$$ называется степенью с основанием $$a$$ и показателем $$x,$$ если $$a$$ перемножается само на себя $$x$$ разСвойства степеней:

Значения обратных тригонометрических функций

Рекомендуем ознакомиться со свойствами обратных тригонометрических функций и решением простейших тригонометрических уравнений. Также будет полезно ознакомиться с материалами раздела...

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Произведение синусов есть полуразность косинуса разности и косинуса суммы: $$sin xsin y=frac{1}{2}left $$ Произведение...

Уравнения с модулем

Несколько основных способов решения уравнений с модулем

Основные неопределенные интегралы

Определения неопределенного интеграла и первообразной. 16 основных неопределенных интегралов..

Материалы по теме

32 задание ЗНО 2014

Решение 32 задания ЗНО 2014 по математике..

19 задание пробного ЗНО 2015

Решение 19 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 30 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 30 задание...

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 24 задание

Задание 24 На рисунку зображено графік функції $$y=f(x),$$...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок 31 завдання

Рассмотрим задачу (задание №31 ПЗНО 2013 по математике) на  геометрический смысл определенного...

Основные свойства и правила интегрирования

Основные свойства и правила Производная от неопределенного интеграла есть...

Основные неопределенные интегралы

Определения неопределенного интеграла и первообразной. 16 основных неопределенных интегралов..

ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 29-32

Решение тестовых заданий 29-32 2 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...

ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 21-32]

Решение тестовых заданий 21-32 1 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...