Множина. Підмножина. Операції. Круги Ейлера-Венна

Множина

Множину можна уявити собі як сукупність деяких об’єктів, що об’єднані за якоюсь ознакою. У математиці множини — це одне з основних неозначуваних понять.

Кожний об’єкт, що входить до мно­жини А, називається елементом цієї множини.

Зазвичай елементи позначають малими латинськими літерами: a, b, c, d тощо.

Якщо a належить множині A, то пишуть a ∈ A (читають: «a належить множині A»). Якщо b не належить множині A, то пишуть b ∉ A (читають: «b не належить множині A»).

Множина, що не містить жодного елемента, називається порожньою множиною і позначається ∅.

Дві множини A і B називають рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто кожний елемент множини A належить множині B, і навпаки, кожний елемент множини B належить множині A.

Якщо множини A і B рівні, то пишуть A = B.

З означення випливає, що множина однозначно визначається своїми елементами.

Для ілюстрації співвідношень між множинами використовують схеми, які називають діаграмами (кругами) Ейлера-Венна.

Підмножина

Якщо кожен елемент однієї множини A є елементом другої множини B, то кажуть, що перша множина A є підмножиною другої множини B і записують так: A ⊂ B.

Використовують також запис A ⊆ B, якщо множина A або є підмножиною множини B, або дорівнює множині B.

Операції над множинами

Перетин (переріз) множин

Перетином множин A і B називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать і множині A, і множині B. Перетин множин A і B позначають так: $$A\cap B.$$

Об’єднання множин

Об’єднанням множин A і B називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з цих множин: або множині A, або множині B. Об’єднання множин A і B позначають так: $$A\cup B.$$

Різниця множин

Різницею множин А і В називається множина, яка складаєть­ся з усіх елементів, які належать множині А і не належать мно­жині В. Різницю A і B позначають так: $$A\setminus B.$$

Доповнення множини

Якщо всі множини, які ми розглядаємо, є підмножинами якоїсь так званої універсальної множини U, то різниця U \ A називається доповненням множини A. Тобто доповненням множини A називається множина, яка складається з усіх елементів, які не належать множині А (але які належать універсальній множині U). Доповнення множини A позначають так: $$\overline{A}.$$

Поделиться

Больше материалов

Материалы по теме