Уравнения с модулем

Несколько основных способов решения уравнений с модулем

Предлагаем вспомнить определение модуля и его основные свойства

Рассмотрим основные способы решения уравнений с модулем на примерах.

По определению модуля

$$|2-x|=2x-10$$

Определение модуля: $$|a|=\begin{cases} a, a\geqslant 0\\ -a, a\leqslant 0 \end{cases}$$

$$\left[\begin{matrix} 2-x=2x-10 ,& 2-x\geqslant 0\\ x-2=2x-10, & 2-x2 \end{matrix}\right.$$

$$\left[\begin{matrix} x=4 ,& x\leqslant 2\\ x=8, & x>2 \end{matrix}\right.$$

Очевидно, что $$x=4$$ — посторонний корень, так как $$4>2$$ и не удовлетворяет $$x\leqslant 2.$$

Таким образом, решением исходного уравнения будет $$x=8$$

Ответ: 8.

Возведение в квадрат

$$|2-x|=2x-10$$

Возведем в квадрат обе части уравнения

$$|2-x|^2=(2x-10)^2$$

$$(2-x)^2=(2x-10)^2$$

$$4+x^2-4x=4x^2+100-40x$$

$$3x^2-36x+96=0$$

$$x^2-12x+32=0$$

Получили квадратное уравнение, которое можно решить любым из известных вам способов

$$x_1=4, x_2=8$$

Так как при возведении в квадрат мы могли получить посторонние корни, то необходимо выполнить проверку найденных корней, подстановкой их в исходное уравнение.

Проверкой убеждаемся, что $$x=4$$ — посторонний корень.

Ответ: 8.

Метод интервалов

Данный метод заключается в следующем:

1) определяются нули каждого из модулей, входящего в уравнение (приравниваем нулю выражения под модулем)

2) На числовой прямой отмечаются найденные значения, разбивая при этом прямую на промежутки

3) Решают уравнение на каждом из промежутков

$$|2-x|=2x-10$$

$$2-x=0$$

$$x=2$$

Число 2 разбивает числовую прямую на два промежутка $$(-\infty;2]\cup(2;+\infty)$$

I. Рассмотрим решение при $$x\in(-\infty;2]$$

$$|2-x|=2-x$$

$$2-x=2x-10$$

$$x=4\notin(-\infty;2]$$ — посторонний корень

II. Рассмотрим решение при $$x\in(2;+\infty)$$

$$|2-x|=x-2$$

$$x-2=2x-10$$

$$x=8\in(2;+\infty)$$ — корень уравнения

Ответ: 8.

При решении уравнений рекомендуем учитывать свойства функций и выделять дополнительные условия

$$|2-x|=2x-10$$

Так как модуль является неотрицательной величиной, то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной, то есть $$2x-10\geqslant 0.$$ Значит дополнительным условием будет $$x\geqslant 5.$$ При таких значениях $$x$$ выражение под модулем принимает отрицательное значение и модуль раскроется с противоположным знаком.

$$x-2=2x-10$$

$$x=8>5$$ (удовлетворяет дополнительному условию) — корень

Ответ: 8.

Графический способ решения

Графический способ заключается в следующем:

1) Левая и правая части уравнения — две функции от переменной $$x.$$

2) Строятся графики каждой из функций

3) Точки пересечения графиков функций являются искомым решением

$$|2-x|=2x-10$$

$$y=|2-x|=\left[\begin{matrix} 2-x ,& x\leqslant 2\\ x-2, & x>2 \end{matrix}\right.,$$ $$y=2x-10$$

Точкой пересечения графиков данных функций будет точка $$(8;6),$$ то есть $$x=8$$

Ответ: 8.

Графический способ уместен, когда необходимо определить количество корней, не находя их точных значений. Также данный способ довольно часто применяется при решении параметрических уравнений.

Поделиться

Больше материалов

Тригонометрические функции двойного, половинного и тройного аргументов

Синус двойного угла: $$sin 2alpha=2sinalphacosalpha=frac{2text{tg}alpha}{1+text{tg}^2alpha}$$ Косинус двойного угла: $$cos 2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=1-2sin^2alpha=2cos^2alpha-1=frac{1-text{tg}^2alpha}{1+text{tg}^2alpha}$$

Формулы приведения

Можно не заучивать формулы приведения тригонометрических функций. Достаточно знать правило, состоящее из двух пунктов. Правило

Формулы сокращенного умножения

В роли $$a$$ и $$b$$ могут выступать любые выражения. Формулы Разность квадратов двух выражений равна...

Косинусоида

Косинус $$y=cos x.$$ Функция косинус определена при любом $$x,$$ то есть область определения есть множество $$mathbb{R}$$ всех действительных чисел. Областью значений функции косинус...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..