Пропорции. Модуль действительного числа

Пропорции

Пропорция [лат. proportio — доля] — равенство двух отношений, т. е. равенство вида $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$$ где $$a, d$$ — крайние члены, $$b, c$$ — средние члены пропорции.

Основные свойства пропорции:

  1. Произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции: $$ad=bc.$$
  2. Перестановка членов пропорции: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}, \frac{d}{b}=\frac{c}{a}, \frac{a}{c}=\frac{b}{d}, \frac{d}{c}=\frac{b}{a}.$$
  3. Увеличение, уменьшение, составление пропорции сложением и вычитанием: $$\frac{a\pm b}{a}=\frac{c\pm d}{c}, \frac{a\pm c}{b\pm d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Модуль

Модуль [абсолютная величина] действительного числа $$a$$ — неотрицательное число, определение которого зависит от типа этого числа $$a$$ и обозначается $$|a|.$$

$$|a|=\left[\begin{matrix} a ,& a\geqslant 0\\ -a, & a<0 \end{matrix}\right.$$

С геометрической точки зрения, модуль действительного числа — расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует это число.

Значит $$|a|\geqslant 0,$$ $$|a|= 0\Leftrightarrow a=0$$

Следствия: $$|-a|= |a|, a\leqslant |a|, -a\leqslant|a|,-|a|\leqslant a,-|a|\leqslant a \leqslant |a|.$$

Свойства модуля:

1. $$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$$

2. $$\left |\frac{a}{b} \right |=\frac{|a|}{|b|}, b\neq 0$$

3. $$|a+b|\leqslant |a|+|b|$$

4. $$|a-b|\leqslant |a|+|b|$$

5. $$|a|-|b|\leqslant |a+b|$$

6. $$|a+b|\geqslant \left | |a|-|b| \right |$$

7. $$|a-b|\geqslant \left | |a|-|b| \right |$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

Теги: