ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 3 варіанту (4 частина)

Часть четвертая. Вариант 3

Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий четвертой части третьего варианта ГИА (ДПА) по математике для девятого класса за 2012 год.

Четвертая часть аттестационной работы предназначена для учеников классов с углубленным изучением математики и состоит из двух заданий открытой формы с развернутым ответом. Решение заданий 4.1 — 4.2 должно содержать объяснения. В нем необходимо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. При необходимости решения иллюстрируются схемами, графиками, таблицами.

Задание 4.1

Доказать, что выражение $$\sqrt{11-2\sqrt{28}}-\sqrt{11+2\sqrt{28}}$$является целым числом.

Доказательство:

Рассмотрим первый корень. Сначала преобразуем подкоренное выражение, применив формулу квадрат разности

$$11-2\sqrt{28}=11-2\cdot2\sqrt{7}=4+7-2\cdot2\sqrt{7}=2^2+(\sqrt{7})^2-2\cdot2\cdot\sqrt{7}=(2-\sqrt{7})^2$$

Тогда

$$\sqrt{11-2\sqrt{28}}=\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}=|2-\sqrt{7}|=$$

Воспользуемся определением модуля

$$=\sqrt{7}-2$$

Аналогично для второго корня получим

$$\sqrt{11+2\sqrt{28}}=\sqrt{(2+\sqrt{7})^2}=|2+\sqrt{7}|=2+\sqrt{7}$$

Подставим полученные выражения в первоначальное

$$\sqrt{11-2\sqrt{28}}-\sqrt{11+2\sqrt{28}}=\sqrt{7}-2-\left (2+\sqrt{7} \right )=-4$$ — целое число.

ч.т.д.

Задание 4.2

Найти уравнение окружности, описанной около треугольника $$ABC$$ с вершинами в точках $$A(2;9),\;B(11;0),\;C(-5;-4).$$

Решение:

Пусть точка $$O(a;b)$$ — центр описанной около треугольника $$ABC$$ окружности.

Составим систему уравнений, используя тот факт, что точка $$O$$ равноудалена от вершин треугольника ($$OA=OB=OC$$, смотрите нахождение длин векторов)

$$\left\{\begin{matrix} (a-2)^2+(b-9)^2=(a-11)^2+b^2\\ (a-11)^2+b^2=(a+5)^2+(b+4)^2 \end{matrix}\right.$$

Раскроем скобки, применив формулы сокращенного умножения и приведем подобные слагаемые

$$\left\{\begin{matrix} a^2+4-4a+b^2+81-18b=a^2+121-22a+b^2\\ a^2+121-22a+b^2=a^2+25+10a+b^2+16+8b \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=2 &(1)\\ 4a+b=10&(2) \end{matrix}\right.$$

$$(1)+(2)\Rightarrow 5a=12\Rightarrow a=2.4$$

$$(2)-4(1)\Rightarrow 5b=2\Rightarrow b=0.4$$

Значит $$O(2.4;0.4)$$

$$R^2=OB^2=(2.4-11)^2+0.4^2=8.6^2+0.4^2=73.96+0.16=74.12$$

Уравнение описанной около треугольника $$ABC$$ окружности

$$(x-2.4)^2+(y-o.4)^2=74.12$$.

Ответ: $$(x-2.4)^2+(y-o.4)^2=74.12$$.

Источник: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. — 2-ге вид., доопрац. — К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012. — 112 с.: іл.
ISBN 978-617-626-110-0.

Поделиться

Обратите внимание

ДПА 2012 з математики. 9 клас. Розв’язок 1 варіанта

Предлагаем Вашему вниманию решение 1 варианта государственной итоговой аттестации (ГИА) или на украинском державної підсумкової атестації (ДПА) по математике для 9 класса...

ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 2 варіанту (2 частина)

Часть вторая. Вариант 2. Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий второй части второго варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике...

ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 2 варіанту (3 частина)

Часть третья. Вариант 2 Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий третьей части второго варианта ГИА (ДПА) по математике для...

ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 2 варіанту (4 частина)

Часть четвертая. Вариант 2 Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий четвертой части второго варианта ГИА (ДПА) по математике для...

ГИА (ДПА) 2012. 9 класс. Часть вторая. Вариант 3

Часть вторая. Вариант 3 Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий второй части третьего варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике...

Материалы по теме

ДПА 2012. 9 класс. Вариант 7. Задание 3.1

Продолжаем готовиться к ДПА и ЗНО по математике. Текстовая задача на перевозку...

ДПА 2012. 9 класс. Вариант 4. Задание 3.1

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию...

ГИА 2012. 4 класс. Контрольная работа №3 (В.1)

В рамках подготовки учеников 4 класса к ГИА (ДПА) по математике предлагаем...

ДПА 2012. 4 класс. Контрольная работа №2 (В.1)

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) по математике для учащихся 4 класса...