Задание 29 (медиана прямоугольного треугольника)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем задачу по планиметрии.

Задача

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает этот треугольник на два треугольника с периметрами 16 см и 18 см. Найти гипотенузу треугольника.

Решение:

Медиана, проведенная к стороне треугольника, делит эту сторону пополам. При решении задачи воспользуемся тем фактом, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ см и $$b$$ см, а гипотенуза равна $$c$$ см. Значит получили два треугольника соответственно со сторонами $$a,\frac{c}{2},\frac{c}{2}$$ и $$b,\frac{c}{2},\frac{c}{2}$$. Так как периметры треугольников равны 16 см и 18 см, то получим уравнения

$$a+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}=16$$ и $$b+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}=18$$.

Из первого уравнения выразим $$a$$, а из второго — выразим $$b$$

$$a=16-c,\;b=18-c$$.

Воспользуемся теоремой Пифагора

$$c^2=a^2+b^2$$

Подставим в это соотношение значения для катетов

$$c^2=(16-c)^2+(18-c)^2$$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности, и приведем подобные слагаемые. После таких преобразований получим квадратное уравнение относительно $$c$$

$$c^2-68c+580=0$$

По теореме Виета $$c_1=58$$ (посторонний корень, т.к. не удовлетворяет условию задачи) и $$c_2=10$$.

Ответ: 10 см.

Поделиться

Больше заданий

Задание 48 (логарифмы)

Свойства логарифмов (задание 48). Задание из группы ВКонтакте

Задание 3 (формулы сокращенного умножения, степени)

Упростить выражение: $$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$ Решение: Рекомендуем ознакомиться с материалами по теме: Формулы сокращенного...

Задание 60 (система с параметром)

Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений $$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

Задание 17 (уравнение высоты треугольника)

Точки $$A(0;1),;B(6;5),;C(12;-1)$$ являются вершинами треугольника. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины $$C$$. Рекомендуем ознакомиться с теоретическим материалом по...

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

33 задание ЗНО 2014

Решение 33 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

31 задание ЗНО 2014

Решение 31 задания ЗНО 2014 по математике..

Задание №26 ЗНО 2014

Решение 26 задания ЗНО 2014 по математике..

23 задание ЗНО 2014

Решение 23 задания ЗНО 2014 по математике..