ЗНО 2012 по математике

(1 сессия) [задания 11-20]

Задание 11
У залі кінотеатру 18 рядів. У першому ряду знаходяться 7 місць, а в кожному наступному ряду на 2 місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у залі?

А

Б

В

Г

Д

369

432

438

450

 864

Решение:

Задача на арифметическую прогрессию. Нам понадобятся следующая формула для вычисления суммы 18-первых членов арифметической прогрессии:

$$S_{n}=\frac{2\cdot a_1+d\cdot (n-1)}{2}\cdot n$$

В нашем случае $$a_1=7, d=2, n=18$$

$$s_{18}=\frac{2\cdot 7+2\cdot 17}{2}\cdot{18}=24\cdot 18=432$$

Ответ: Б.


Задание 12
Прямокутник із сторонами 8 см і 10 см обертається навколо меншої сторони (див. рисунок). Знайдіть площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

А

Б

В

Г

Д

$$800\pi$$ см2

$$360\pi$$ см2

$$288\pi$$ см2

$$260\pi$$ см2

 $$160\pi$$ см2

Решение:

При вращении прямоугольника вокруг его стороны получаем цилиндр. Полная площадь полученной фигуры будет состоять из суммы трех площадей:

$$S=S_{1}+2\cdot S_{2}$$

$$S_1$$ — площадь боковой поверхности цилиндра, $$S_2$$ — площадь круга (основание цилиндра)

$$S_{1}=2\pi RH, S_{2}=\pi R^2$$

$$S_{1}=2\pi RH, S_{2}=\pi R^2, R=10, H=8\Rightarrow$$

$$\Rightarrow S=2\pi \cdot10\cdot 8+2 \pi \cdot 10^2=360\pi$$

Ответ: Б.


Задание 13
Якому проміжку належить значення виразу $$\sin 410^{\circ}?$$

А

Б

В

Г

Д

$$(-1;-\frac{1}{2})$$

 $$(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$$

$$(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$$

$$(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$$

$$(\frac{\sqrt{3}}{2};1)$$

Решение:

$$\sin 410^{\circ}=\sin(360^{\circ}+50^{\circ})=\sin 50^{\circ}$$

$$45^{\circ}<50^{\circ}<60^{\circ}, \sin 45^{\circ}= \frac{\sqrt{2}}{2},\sin 60^{\circ}= \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin 45^{\circ}\in \left ( \frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$$

Т.к. на промежутке от $$0^{\circ}$$ до $$90^{\circ}$$ функция $$\sin x$$ возрастает.

Ответ: Г.


Задание 14
З міст А і В, відстань між якими по шосе становить 340 км, одночасно назустріч один одному виїхали автобус і маршрутне таксі зі сталими швидкостями 65 км/год відповідно. Автобус і маршрутне таксі рухаються без зупинок і ще не зустрілися. За якою формулою можна обчислити відстань $$S$$ (у км) між автобусом і маршрутним таксі по шосе через  $$t$$ годин після початку руху?

А

Б

В

Г

Д

$$S=340-145t$$

$$S=340-15t$$

$$S=15t-340$$

$$S=145t-340$$

$$S=340+145t$$

Решение:

После  $$t$$ часов после начала движения автобус и маршрутное такси  проедут расстояние, равное $$65t$$ км и $$80t$$ км соответственно, а вместе $$145t$$ км. Так как общее расстояние $$S$$ равно 340 км, то расстояние между автобусом и маршрутным такси через  $$t$$ часов после начала движения можно вычислить по формуле: $$S=340-145t$$

Ответ: А.


Задание 15
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а її апофема — 5 см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.

А

Б

В

Г

Д

$$\frac{3}{5}$$

 $$\frac{1}{5}$$

 $$\frac{3}{4}$$

$$\frac{4}{5}$$

$$\frac{4}{3}$$

Решение:

Введем следующие обозначения: $$H$$ — высота правильной четырехугольной пирамиды, $$h$$ — высота боковой грани (апофема) правильной четырехугольной пирамиды, $$\alpha$$ — угол между плоскостью боковой поверхности пирамиды и плоскостью основания. Рассмотрим треугольник (см. рисунок)

Из определения тригонометрических функций находим

$$\sin\alpha =\frac{H}{h}=\frac{4}{5},$$

тогда из основного тригонометрического тождества находим

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}= \sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$$

Ответ: А.

Задание 16
На рисунку зображено паралелограм ABCD, площа якого дорівнює 60 см2. Точка М належить стороні BC. Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.

А

Б

В

Г

Д

 20 см2

45 см2

 35 см2

 40 см2

30 см2

Решение:

Из точки М на сторону AD $$(a)$$ опускаем перпендикуляр $$h_a,$$ который является высотой треугольника AMD и параллелограмма ABCD. Воспользуемся формулами нахождения площадей треугольника $$S_1$$ и параллелограмма $$S_2$$ через высоту.

$$S_{1}=a\cdot h_{a}, S_{2}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{a}$$

$$S_{2}=60\Rightarrow S_{1}=30$$

Значит площадь фигуры, состоящей из закрашенных треугольников равна:

$$S_{3}=S_{2}-S_{1}=30$$

Ответ: Д.


Задание 17

Розв’яжіть нерівність $$(\frac{\pi}{4})^x<(\frac{4}{\pi})^3$$

А

Б

В

Г

Д

$$(-3;\infty)$$

$$(3;\infty)$$

$$(-\infty;3)$$

$$(-\infty;-3)$$

$$(-\infty;\frac{1}{3})$$

Решение:

Перейдем к основанию $$\frac{\pi}{4}$$

$$(\frac{\pi}{4})^x<(\frac{\pi}{4})^{-3}$$

Так как $$\frac{\pi}{4}$$ больше нуля и меньше единицы, то знак неравенства изменится на противоположный при переходе к выражениям, стоящим в степенях, то есть получим $$x>-3.$$

Ответ: А.


Задание 18
У прямокутнику ABCD: BC=80, AC=100. Через точки М і К, що належать сторонам АВ і ВС відповідно, проведено пряму, паралельну АС. Знайдіть довжину більшої сторони трикутника МВК, якщо ВК=20.

А

Б

В

Г

Д

 60

 50

30

25

 15

Решение:

$$AC$$ — диагональ прямоугольника

$$MK \parallel AC$$

$$\triangle MBK\sim \triangle ABC\Rightarrow \frac{MK}{AC}=\frac{BK}{BC}$$

$$MK=\frac{BK\cdot AC}{BC}=\frac{20\cdot 100}{80}=25$$

Ответ: Г.


Задание 19
Укажіть множину всіх значень $$a,$$ при яких виконується рівність $$|a^3-a^2|=a^3-a^2.$$

А

Б

В

Г

Д

$$(-\infty;-1]\cup [1;\infty)$$

$$[1;\infty)$$

$$(-\infty;-1]\cup \left \{ 0 \right \}$$

$$[0;1]$$

$$\left \{ 0 \right \}\cup [1;\infty)$$

Решение:

$$a^3-a^2\geqslant 0\Rightarrow a^2\cdot (a-1)\geqslant 0\Rightarrow a=0, a\geqslant 1$$

Ответ: Д.


Задание 20
Функція $$f(x)$$ має в точці $$x_0$$  похідну $$f'(x_{0})=-4.$$ Визначте значення похідної функції $$g(x)=2\cdot f(x)+7x-3$$ в точці $$x_0.$$

А

Б

В

Г

Д

 15

12

-1

-4

-8

Решение:

$$g'(x)=2\cdot f'(x)+7$$

$$g'(x_{0})=2\cdot f'(x_{0})+7=2\cdot (-4)+7=-1$$

Ответ: В.

Также рекомендуем ознакомиться с решениями ВНО (ЗНО) по математике за 2008—2012 годы:

На нашем сайте Вы можете бесплатно скачать бланки с ответами ВНО (ЗНО) по математике.

Вы можете проверить свои знания в онлайн тестах по математике.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

Теги: