Онлайн тест с открытым ответом
Навигация (только номера заданий)
0 из 15 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
Информация
Онлайн тест “Целые уравнения” с открытым ответом. Решите уравнение, ответ запишите десятичной дробью.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 15
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
- Нет рубрики 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 15
1.
Решить уравнение $$\frac{x-2}{5}+\frac{2x-5}{4}+\frac{4x-1}{20}=4-x$$
Правильно
Неправильно
$$4x-8+10x-25+4x-1-80+20x=0$$
$$38x=114$$
$$x=3$$ -
Задание 2 из 15
2.
При каком значении параметра $$a$$ сумма корней уравнения $$x^2-(a^2-17a+83)x-21=0$$ будет наименьшей?
Правильно
Неправильно
$$x_1+x_2=a^2-17a+83$$
$$a^2-17a+83=a^2-2\cdot\frac{17}{2}a+(\frac{17}{2})^2-(\frac{17}{2})^2+83=(a-\frac{17}{2})^2+\frac{43}{4}$$
При $$a=\frac{17}{2}=8.5$$ сумма корней будет наименьшей. -
Задание 3 из 15
3.
Решить уравнение $$x^6-3x^3+2=0.$$ В ответ записать наименьший корень.
Правильно
Неправильно
$$x^6-3x^3+2=0$$
Замена $$x^3=t$$
$$t^2-3t+2=0$$
$$t_1=1, t_2=2$$
1) $$x^3=1$$
$$x=1$$ – наименьший корень
2) $$x^3=2$$
$$x=\sqrt[3]{2}$$ -
Задание 4 из 15
4.
Решить уравнение $$x^3+9x^2+9x+1=0.$$ В ответ записать сумму корней.
Правильно
Неправильно
$$x^3+9x^2+9x+1=x^3+1+9x(x+1)=(x+1)(x^2+1-x)+9x(x+1)=(x+1)(x^2+8x+1)$$
$$(x+1)(x^2+8x+1)=0$$
$$x_1=-1$$ или $$x^2+8x+1=0$$
$$D_1=16-1=15$$
$$x_2=-4-\sqrt{15}$$
$$x_3=-4+\sqrt{15}$$
$$x_1+x_2+x_3=-1+(-4-\sqrt{15})+(-4+\sqrt{15})=-9$$ -
Задание 5 из 15
5.
Решить уравнение $$(x^2+3x+1)(x^2+3x+3)+1=0.$$ В ответ записать наибольший корень.
Правильно
Неправильно
$$(x^2+3x+1)(x^2+3x+3)+1=0$$
Замена
$$x^2+3x+1=t$$
$$t(t+2)+1=0$$
$$t^2+2t+1=0$$
$$(t+1)^2=0$$
$$t+1=0$$
$$t=-1$$
Обратная замена
$$x^2+3x+1=-1$$
$$x^2+3x+2=0$$
$$x_1=-2$$
$$x_2=-1$$ – наибольший корень -
Задание 6 из 15
6.
Решить уравнение $$(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55.$$ В ответ записать произведение корней.
Правильно
Неправильно
$$(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55$$
$$x^4+4x^3+4x^2-x^2-2x-1-55=0$$
$$x^4+4x^3+3x^2-2x-56=0$$ – уравнение с целыми коэффициентами
$$P(x)=x^4+4x^3+3x^2-2x-56$$ – многочлен с целыми коэффициентами
Свободный член 56 делится нацело на $$\pm1;\pm2;\pm4;\pm7;\pm8;\pm14;\pm28;\pm56$$
$$P(1)\neq0$$
$$P(-1)\neq0$$
$$P(2)=0,$$ значит $$x=2$$ – корень уравнения
Разделим наш многочлен на двучлен $$x-2$$ (смотрите деление многочленов)
В итоге получим $$P(x)=(x-2)(x^3+6x^2+15x+28)$$
Продолжим проверку корней
$$P(-2)\neq0$$
$$P(-4)=0,$$ т.е. $$x=-4$$ – корень.
Теперь разделим полученный многочлен на двучлен $$x+4$$ и получим $$P(x)=(x-2)(x+4)(x^2+2x+7)$$
Дискриминант полученного квадратного трехчлена отрицательный, значит данный трехчлен не имеет действительных корней.
Следовательно уравнение $$(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55$$ имеет 2 корня, произведение которых равно $$2\cdot(-4)=-8$$ -
Задание 7 из 15
7.
Решить уравнение $$|3x^2-x|=8+x.$$ В ответ записать наибольший корень.
Правильно
Неправильно
$$|x|\cdot|3x-1|=8+x$$
Нули модулей: $$0;\frac{1}{3}$$
Левая часть неотрицательна, значит $$8+x\geqslant 0$$
$$x\geqslant-8$$
Получили промежутки $$[-8;0)\cup[0;\frac{1}{3})\cup[\frac{1}{3};\infty)$$
1) $$x\in[-8;0)$$
$$|x|=-x$$
$$|3x-1|=1-3x$$
$$-x(1-3x)=8+x$$
$$-x+3x^2-8-x=0$$
$$3x^2-2x-8=0$$
$$D_1=1+24=25=5^2$$
$$x_1=\frac{1-5}{3}=-1\frac{1}{3}\in[-8;0)$$ – корень
$$x_2=\frac{1+5}{3}=2\notin[-8;0)$$ – не корень
2) $$x\in[0;\frac{1}{3})$$
$$|x|=x$$
$$|3x-1|=1-3x$$
$$x(1-3x)-x-8=0$$
$$-3x^2-8=0$$
$$x^2+\frac{8}{3}=0$$ – нет действительных корней
3) $$x\in[\frac{1}{3};\infty)$$
$$|x|=x$$
$$|3x-1|=3x-1$$
$$x(3x-1)-x-8=0$$
$$3x^2-2x-8=0$$
Как и в 1 случае, получим
$$x_1=\frac{1-5}{3}=-1\frac{1}{3}\notin[\frac{1}{3};\infty)$$ – не корень
$$x_2=\frac{1+5}{3}=2\in[\frac{1}{3};\infty)$$ – наибольший корень -
Задание 8 из 15
8.
Решить уравнение $$|x+1|+|x-5|=20.$$ В ответ записать модуль разности корней.
Правильно
Неправильно
$$|x+1|+|x-5|=20$$
Промежутки: $$x\in(-\infty;-1)\cup[-1;5)\cup[5;\infty)$$
1) $$x\in(-\infty;-1)$$
$$-x-1+5-x=20$$
$$-2x=16$$
$$x=-8\in(-\infty;-1)$$ – корень
2) $$x\in[-1;5)$$
$$x+1+5-x=20$$
$$6\neq20$$ – корней нет
3) $$x\in[5;\infty)$$
$$x+1+x-5=20$$
$$2x=24$$
$$x=12\in[5;\infty)$$ – корень
Модуль разности корней: $$|12-(-8)|=20$$ -
Задание 9 из 15
9.
Отец старше сына в 9 раз, а сумма их лет равна 30. Через сколько лет отец станет в 2 раза старше сына?
Правильно
Неправильно
Составим уравнения.
1) Отец старше сына в 9 раз, а сумма их лет равна 30
Пусть возраст сына $$x$$ лет, тогда возраст отца $$9x$$ лет. Сумма их лет равна 30, получим уравнение: $$x+9x=30,$$ т.е. $$x=3$$
2) Через $$y$$ лет отец станет в 2 раза старше сына
$$2(x+y)=9x+y$$
$$y=7x=21$$ -
Задание 10 из 15
10.
В двуцифровом числе цифра десятков в три раза больше цифры единиц. Если от этого числа отнять число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке, то получим 36. Найти это число.
Правильно
Неправильно
$$x$$ – число единиц, $$y$$ – число десятков
$$y=3x$$
$$10y+x-(10x+y)=36$$
$$9y-9x=36$$
$$y-x=4$$
$$3x-x=4$$
$$2x=4$$
$$x=2$$
$$y=6$$
Искомое число 62 -
Задание 11 из 15
11.
Решить уравнение $$(x+2)(x+1)x(x-1)=24.$$ В ответ записать положительный корень.
Правильно
Неправильно
Раскрыть скобки, привести подобные, рассмотреть делители свободного члена, проверять подстановкой в многочлен, выполнить деление многочленов или использовать схему Горнера.
$$x^4+2x^3-x^2-2x-24=(x-2)(x+3)(x^2+x+4)$$
$$x=2$$ – положительный корень -
Задание 12 из 15
12.
Решить уравнение и в ответ записать наибольший корень $$x^4+(x-4)^4=82$$
Правильно
Неправильно
$$x^4-1=81-(x-4)^4$$
$$(x-1)(x+1)(x^2+1)=[9-(x-4)^2][9+(x-4)^2]$$
$$(x-1)(x+1)(x^2+1)=(7-x)(x-1)(x^2-8x+25)$$
$$(x-1)(x^3+x^2+x+1-7x^2+56x-175+x^3-8x^2+25x)=0$$
$$(x-1)(2x^3-14x^2+82x-174)=0$$
$$(x-1)(x-3)(2x^2-8x+58)=0$$
$$x=3$$ – наибольший корень -
Задание 13 из 15
13.
Решить уравнение и в ответ записать наименьший корень $$x^3-5x^2-2x+24=0$$
Правильно
Неправильно
$$(x+2)(x^2-7x+12)=0$$
$$x_1=-2$$ – наименьший корень
$$x_2=3$$
$$x_3=4$$ -
Задание 14 из 15
14.
Решить уравнение и в ответ записать количество целых корней $$||x+1|-|x-3||=|x|$$
Правильно
Неправильно
$$x=-4$$
$$x=\frac{2}{3}$$
$$x=2$$
$$x=4$$
3 целых корня -
Задание 15 из 15
15.
Решить уравнение и в ответ записать количество целых корней $$|x^2-9|+|x^2-16|=7$$
Правильно
Неправильно
$$x\in[-4;-3]\cup[3;4]$$
$$-4;-3;3;4$$ – 4 целых корня