Тест “Целые уравнения” с открытым ответом

$$4x-8+10x-25+4x-1-80+20x=0$$
$$38x=114$$
$$x=3$$

$$x_1+x_2=a^2-17a+83$$
$$a^2-17a+83=a^2-2\cdot\frac{17}{2}a+(\frac{17}{2})^2-(\frac{17}{2})^2+83=(a-\frac{17}{2})^2+\frac{43}{4}$$
При $$a=\frac{17}{2}=8.5$$ сумма корней будет наименьшей.

$$x^6-3x^3+2=0$$
Замена $$x^3=t$$
$$t^2-3t+2=0$$
$$t_1=1, t_2=2$$
1) $$x^3=1$$
$$x=1$$ – наименьший корень
2) $$x^3=2$$
$$x=\sqrt[3]{2}$$

$$x^3+9x^2+9x+1=x^3+1+9x(x+1)=(x+1)(x^2+1-x)+9x(x+1)=(x+1)(x^2+8x+1)$$
$$(x+1)(x^2+8x+1)=0$$
$$x_1=-1$$ или $$x^2+8x+1=0$$
$$D_1=16-1=15$$
$$x_2=-4-\sqrt{15}$$
$$x_3=-4+\sqrt{15}$$
$$x_1+x_2+x_3=-1+(-4-\sqrt{15})+(-4+\sqrt{15})=-9$$

$$(x^2+3x+1)(x^2+3x+3)+1=0$$
Замена
$$x^2+3x+1=t$$
$$t(t+2)+1=0$$
$$t^2+2t+1=0$$
$$(t+1)^2=0$$
$$t+1=0$$
$$t=-1$$
Обратная замена
$$x^2+3x+1=-1$$
$$x^2+3x+2=0$$
$$x_1=-2$$
$$x_2=-1$$ – наибольший корень

$$(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55$$
$$x^4+4x^3+4x^2-x^2-2x-1-55=0$$
$$x^4+4x^3+3x^2-2x-56=0$$ – уравнение с целыми коэффициентами
$$P(x)=x^4+4x^3+3x^2-2x-56$$ – многочлен с целыми коэффициентами
Свободный член 56 делится нацело на $$\pm1;\pm2;\pm4;\pm7;\pm8;\pm14;\pm28;\pm56$$
$$P(1)\neq0$$
$$P(-1)\neq0$$
$$P(2)=0,$$ значит $$x=2$$ – корень уравнения
Разделим наш многочлен на двучлен $$x-2$$ (смотрите деление многочленов)
В итоге получим $$P(x)=(x-2)(x^3+6x^2+15x+28)$$
Продолжим проверку корней
$$P(-2)\neq0$$
$$P(-4)=0,$$ т.е. $$x=-4$$ – корень.
Теперь разделим полученный многочлен на двучлен $$x+4$$ и получим $$P(x)=(x-2)(x+4)(x^2+2x+7)$$
Дискриминант полученного квадратного трехчлена отрицательный, значит данный трехчлен не имеет действительных корней.
Следовательно уравнение $$(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55$$ имеет 2 корня, произведение которых равно $$2\cdot(-4)=-8$$

$$|x|\cdot|3x-1|=8+x$$
Нули модулей: $$0;\frac{1}{3}$$
Левая часть неотрицательна, значит $$8+x\geqslant 0$$
$$x\geqslant-8$$
Получили промежутки $$[-8;0)\cup[0;\frac{1}{3})\cup[\frac{1}{3};\infty)$$
1) $$x\in[-8;0)$$
$$|x|=-x$$
$$|3x-1|=1-3x$$
$$-x(1-3x)=8+x$$
$$-x+3x^2-8-x=0$$
$$3x^2-2x-8=0$$
$$D_1=1+24=25=5^2$$
$$x_1=\frac{1-5}{3}=-1\frac{1}{3}\in[-8;0)$$ – корень
$$x_2=\frac{1+5}{3}=2\notin[-8;0)$$ – не корень
2) $$x\in[0;\frac{1}{3})$$
$$|x|=x$$
$$|3x-1|=1-3x$$
$$x(1-3x)-x-8=0$$
$$-3x^2-8=0$$
$$x^2+\frac{8}{3}=0$$ – нет действительных корней
3) $$x\in[\frac{1}{3};\infty)$$
$$|x|=x$$
$$|3x-1|=3x-1$$
$$x(3x-1)-x-8=0$$
$$3x^2-2x-8=0$$
Как и в 1 случае, получим
$$x_1=\frac{1-5}{3}=-1\frac{1}{3}\notin[\frac{1}{3};\infty)$$ – не корень
$$x_2=\frac{1+5}{3}=2\in[\frac{1}{3};\infty)$$ – наибольший корень

$$|x+1|+|x-5|=20$$
Промежутки: $$x\in(-\infty;-1)\cup[-1;5)\cup[5;\infty)$$
1) $$x\in(-\infty;-1)$$
$$-x-1+5-x=20$$
$$-2x=16$$
$$x=-8\in(-\infty;-1)$$ – корень
2) $$x\in[-1;5)$$
$$x+1+5-x=20$$
$$6\neq20$$ – корней нет
3) $$x\in[5;\infty)$$
$$x+1+x-5=20$$
$$2x=24$$
$$x=12\in[5;\infty)$$ – корень
Модуль разности корней: $$|12-(-8)|=20$$

Составим уравнения.
1) Отец старше сына в 9 раз, а сумма их лет равна 30
Пусть возраст сына $$x$$ лет, тогда возраст отца $$9x$$ лет. Сумма их лет равна 30, получим уравнение: $$x+9x=30,$$ т.е. $$x=3$$
2) Через $$y$$ лет отец станет в 2 раза старше сына
$$2(x+y)=9x+y$$
$$y=7x=21$$

$$x$$ – число единиц, $$y$$ – число десятков
$$y=3x$$
$$10y+x-(10x+y)=36$$
$$9y-9x=36$$
$$y-x=4$$
$$3x-x=4$$
$$2x=4$$
$$x=2$$
$$y=6$$
Искомое число 62

Раскрыть скобки, привести подобные, рассмотреть делители свободного члена, проверять подстановкой в многочлен, выполнить деление многочленов или использовать схему Горнера.
$$x^4+2x^3-x^2-2x-24=(x-2)(x+3)(x^2+x+4)$$
$$x=2$$ – положительный корень

$$x^4-1=81-(x-4)^4$$
$$(x-1)(x+1)(x^2+1)=[9-(x-4)^2][9+(x-4)^2]$$
$$(x-1)(x+1)(x^2+1)=(7-x)(x-1)(x^2-8x+25)$$
$$(x-1)(x^3+x^2+x+1-7x^2+56x-175+x^3-8x^2+25x)=0$$
$$(x-1)(2x^3-14x^2+82x-174)=0$$
$$(x-1)(x-3)(2x^2-8x+58)=0$$
$$x=3$$ – наибольший корень

$$(x+2)(x^2-7x+12)=0$$
$$x_1=-2$$ – наименьший корень
$$x_2=3$$
$$x_3=4$$

$$x=-4$$
$$x=\frac{2}{3}$$
$$x=2$$
$$x=4$$
3 целых корня

$$x\in[-4;-3]\cup[3;4]$$
$$-4;-3;3;4$$ – 4 целых корня