ДПА 2012. Математика. 9 клас

ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 2 варіанту (4 частина)

Часть четвертая. Вариант 2

Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий четвертой части второго варианта ГИА (ДПА) по математике для девятого класса за 2012 год.

Четвертая часть аттестационной работы (для учеников классов с углубленным изучением математики) состоит из двух заданий открытой формы с развернутым ответом. Решение заданий 4.1 — 4.2 должно содержать объяснения. В нем необходимо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. При необходимости решения иллюстрируются схемами, графиками, таблицами.

Задание 4.1

Розв’яжіть систему рівнянь \left\{\begin{matrix} x & + & y & + & \sqrt{xy} & = & 13\\ x^2 & + & xy & + & y^2 & = & 91 \end{matrix}\right..

Решение:

Замена.

Пусть x+y=u,\;\sqrt{xy}=v, тогда

u^2=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy,\;v^2=(\sqrt{xy})^2=xy.

\left (x+y \right )+\sqrt{xy}=u+v.

x^2+xy+y^2=x^2+y^2+2xy-xy=\left (x^2+y^2+2xy \right )-\left (\sqrt{xy} \right )^2=u^2-v^2.

Подставим в первое и второе уравнения системы:

\left\{\begin{matrix} u & + & v & = & 13\\ u^2 & - & v^2 & = & 91 \end{matrix}\right.

Ко второму уравнению системы применим формулу разность квадратов

\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ (u-v) (u+v ) = 91 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ 13(u-v) = 91 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ u-v = 7 \end{matrix}\right.

К первому уравнению системы прибавим второе:

2u=20\Rightarrow u=10

От первого уравнения системы отнимем второе:

2v=6\Rightarrow v=3

Обратная замена.

\left\{\begin{matrix} x+y=10\\ \sqrt{xy}=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y&=&10\\ xy&=&9 \end{matrix}\right.

Применим теорему, которая является обратной к теореме Виета, получим

\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=9 \end{matrix}\right. или \left\{\begin{matrix} x=9\\ y=1 \end{matrix}\right..

Ответ: (1;9),\;(9;1).

Задание 4.2

Знайдіть рівняння кола з центром у точці O(1;-2), яке дотикається до прямої 3x-4y+9=0.

Решение:

Сначала найдем расстояние от точки до прямой

d=\left | \frac{3\cdot1-4\cdot(-2)+9}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right |=\frac{20}{\sqrt{25}}=4

Так как окружность касается прямой 3x-4y+9=0, то расстояние от центра окружности O(1;-2) до точки касания (расстояние от точки до прямой) является радиусом окружности, т.е. R=4.

Запишем уравнение окружности с центром в точке O(1;-2) и радиусом R=4:

(x-1)^2+(y+2)^2=16.

Решение остальных частей 2 варианта: 2 часть, 3 часть.

Решения других вариантов: 1 вариант (все части), 3 вариант (2 часть).

Онлайн тесты, составленные из 1 частей: 1 вариант, 2 вариант, 3 вариант.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!