Пряма лінія на площині

Рівняння лінії в системі координат

Всякій лінії на площині $$XOY$$, яка розглядається як геометричне місце точок, відповідає деяке рівняння, яке пов’язує координати будь-якої точки $$M(x;y)$$ (так званої “біжучої” точки), яка розташована на цій лінії. При підстановці координат будь-якої точки, що належить цій лінії, в її рівняння, це рівняння перетворюється в тотожність (задовольняється). Якщо ж в рівняння лінії підставити координати будь-якої точки, яка не належить цій лінії, рівняння не задовольняється (обертається в нерівність).

При знаходженні рівнянь геометричних місць (ліній) інколи виявляється більш зручним виразити декартові координати $$x$$ і $$y$$ довільної точки цього геометричного місця через деяку допоміжну величину (параметр) $$t$$, тобто представити і у вигляді

$$\begin{cases} x = \phi(t), \\ y = \psi(t), (-\infty<t<\infty) \end{cases}$$

Така форма запису рівняння лінії називається параметричною, а рівняння системи називаються параметричними рівняннями даної лінії.

Виключення параметра із системи (якщо воно можливе) приводить до рівняння, яке пов’язує $$x$$ і $$y$$, тобто до рівняння лінії в декартових прямокутних координатах виду $$F(x;y)=0$$.

Різні види рівнянь прямої лінії

Загальне рівняння прямої

$$Ax+By+C=0$$
($$A,\;B,\;C$$ — сталі числа, $$A^2+B^2\neq0$$) рівняння першого степеня відносно змінних і визначає на площині деяку пряму, а всяка пряма на площині описується рівнянням першого степеня.
В залежності від коефіцієнтів рівняння, відповідна пряма буде мати певні особливості свого розташування на площині:

  • Якщо в рівнянні відсутня якась змінна, а $$C\neq0$$, то відповідна пряма буде перпендикулярною вісі, яка однойменна з наявною змінною.
  • Якщо $$C=0$$ ($$A\neq0,\; B\neq0$$), то пряма проходить через початок координат.
  • Якщо в рівнянні прямої відсутня одна певна змінна, а $$C=0$$, то пряма співпадає з віссю координат, однойменною з відсутньою змінною в рівнянні прямої.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом $$k$$

$$y=kx+b,$$
де $$b$$ – початкова ордината. Цей вид рівняння можна отримати із загального рівняння прямої при $$B\neq0$$ $$\left ( k=-\frac{A}{B},\;b=-\frac{C}{B} \right )$$.
Кутовий коефіцієнт $$k=\textup{tg}\,\alpha$$, де $$\alpha$$ – кут між прямою і додатною піввіссю $$OX$$. Якщо $$\alpha=\frac{\pi}{2}$$ (у випадку прямої, яка перпендикулярна вісі $$OX$$) рівняння втрачає смисл. При $$\alpha=0$$ $$y=b$$, тобто маємо пряму, паралельну вісі $$OX$$.

Рівняння прямої “у відрізках” на осях координат

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$
може бути отримане із загального рівняння прямої при $$C\neq0 \;\left ( a=-\frac{C}{A},\; b=-\frac{C}{B} \right )$$. Ця форма рівняння зручна для побудови прямої на площині. Точки $$M\left ( -\frac{C}{A};\;0 \right )$$ і $$N\left ( 0;\;-\frac{C}{B} \right )$$ називаються слідами прямої на вісях координат.

Рівняння пучка прямих

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

де $$k=\textup{tg}\,\alpha$$, $$(x_0;\;y_0)$$ – координати точки , через яку проходить пряма.

Рівняння прямої, яка проходить через дві фіксовані точки $$M_1(x_1;\;y_1)$$ і $$M_2(x_2;\;y_2)$$

$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$
У випадку $$x_1=x_2$$ (очевидно, що пряма перпендикулярна вісі $$OX$$) рівняння має вид $$x=x_1$$, що слідує із $$x-x_1=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}(x_2-x_1)$$. Якщо $$y_1=y_2$$ (очевидно, що пряма перпендикулярна вісі $$OY$$), то рівняння набуває виду $$y=y_1$$, що слідує із $$y-y_1=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}(y_2-y_1)$$.

Рівняння пучка прямих

$$A_1x+B_1y+C_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0,$$
який утворюється при різних $$\lambda$$ і має своїм центром точку перетину прямих $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ і $$A_2x+B_2y+C_2=0$$.

Нормальне рівняння прямої $$Ax+By+C=0$$

$$\frac{Ax+By+C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}=0.$$
Знак радикала вибирається із умови, що $$\mu C<0$$, де $$\mu =\frac{1}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}$$. Якщо ввести позначення:

$$\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cos\phi,\;\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sin\phi,\; \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}=p>0,$$
то розглядуване рівняння записується

$$x\cos\phi+y\sin\phi-p=0$$.
Для знаходження відстані $$d$$ точки $$M(x_0;\;y_0)$$ до прямої $$Ax+By+C=0$$ застосовується формула
$$d=\left | \frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}} \right |$$.

Рівняння бісектрис кутів між прямими $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ і $$A_2x+B_2y+C_2=0$$

$$\frac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}\pm\frac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}=0$$
Якщо прямі перетинаються (при $$\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}$$), то кут $$\phi$$ між ними визначається формулою
$$\textup{tg}\,\phi=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2},$$
причому $$\phi$$ – кут, який “замітається” першою прямою при її повороті навколо точки перетину проти годинникової стрілки до повного співпадання з другою прямою. Якщо необхідно знайти гострий кут із двох суміжних кутів, які утворюються при перетині двох прямих, то застосовується формула
$$\textup{tg}\,\phi=\left |\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2} \right |.$$

Умова паралельності прямих

$$k_1=k_2$$
або
$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}$$

Умова перпендикулярності прямих

$$k_1=-\frac{1}{k_2}$$
або
$$A_1A_2+B_1B_2=0.$$

Поделиться

Больше материалов

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних...

Рівняння кривих другого порядку. Коло. Еліпс

Коло Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки $$C(a,b)$$ є постійною і дорівнює...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається вектор $$vec{b}$$, який задовольняє наступним умовам:

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование (2 способа). Параметрическое дифференцирование. Примеры.

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із однієї гілки. Аналітично вона є геометричним місцем...

Материалы по теме

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у...

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...
Предыдущий материалПрогрессии. Онлайн тест
Следующий материалЗадание 15 (подобие треугольников)