Пряма лінія на площині

Рівняння лінії в системі координат

Всякій лінії на площині $$XOY$$, яка розглядається як геометричне місце точок, відповідає деяке рівняння, яке пов’язує координати будь-якої точки $$M(x;y)$$ (так званої “біжучої” точки), яка розташована на цій лінії. При підстановці координат будь-якої точки, що належить цій лінії, в її рівняння, це рівняння перетворюється в тотожність (задовольняється). Якщо ж в рівняння лінії підставити координати будь-якої точки, яка не належить цій лінії, рівняння не задовольняється (обертається в нерівність).

При знаходженні рівнянь геометричних місць (ліній) інколи виявляється більш зручним виразити декартові координати $$x$$ і $$y$$ довільної точки цього геометричного місця через деяку допоміжну величину (параметр) $$t$$, тобто представити і у вигляді

$$\begin{cases} x = \phi(t), \\ y = \psi(t), (-\infty<t<\infty) \end{cases}$$

Така форма запису рівняння лінії називається параметричною, а рівняння системи називаються параметричними рівняннями даної лінії.

Виключення параметра із системи (якщо воно можливе) приводить до рівняння, яке пов’язує $$x$$ і $$y$$, тобто до рівняння лінії в декартових прямокутних координатах виду $$F(x;y)=0$$.

Різні види рівнянь прямої лінії

Загальне рівняння прямої

$$Ax+By+C=0$$
($$A,\;B,\;C$$ — сталі числа, $$A^2+B^2\neq0$$) рівняння першого степеня відносно змінних і визначає на площині деяку пряму, а всяка пряма на площині описується рівнянням першого степеня.
В залежності від коефіцієнтів рівняння, відповідна пряма буде мати певні особливості свого розташування на площині:

  • Якщо в рівнянні відсутня якась змінна, а $$C\neq0$$, то відповідна пряма буде перпендикулярною вісі, яка однойменна з наявною змінною.
  • Якщо $$C=0$$ ($$A\neq0,\; B\neq0$$), то пряма проходить через початок координат.
  • Якщо в рівнянні прямої відсутня одна певна змінна, а $$C=0$$, то пряма співпадає з віссю координат, однойменною з відсутньою змінною в рівнянні прямої.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом $$k$$

$$y=kx+b,$$
де $$b$$ – початкова ордината. Цей вид рівняння можна отримати із загального рівняння прямої при $$B\neq0$$ $$\left ( k=-\frac{A}{B},\;b=-\frac{C}{B} \right )$$.
Кутовий коефіцієнт $$k=\textup{tg}\,\alpha$$, де $$\alpha$$ – кут між прямою і додатною піввіссю $$OX$$. Якщо $$\alpha=\frac{\pi}{2}$$ (у випадку прямої, яка перпендикулярна вісі $$OX$$) рівняння втрачає смисл. При $$\alpha=0$$ $$y=b$$, тобто маємо пряму, паралельну вісі $$OX$$.

Рівняння прямої “у відрізках” на осях координат

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$
може бути отримане із загального рівняння прямої при $$C\neq0 \;\left ( a=-\frac{C}{A},\; b=-\frac{C}{B} \right )$$. Ця форма рівняння зручна для побудови прямої на площині. Точки $$M\left ( -\frac{C}{A};\;0 \right )$$ і $$N\left ( 0;\;-\frac{C}{B} \right )$$ називаються слідами прямої на вісях координат.

Рівняння пучка прямих

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

де $$k=\textup{tg}\,\alpha$$, $$(x_0;\;y_0)$$ – координати точки , через яку проходить пряма.

Рівняння прямої, яка проходить через дві фіксовані точки $$M_1(x_1;\;y_1)$$ і $$M_2(x_2;\;y_2)$$

$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$
У випадку $$x_1=x_2$$ (очевидно, що пряма перпендикулярна вісі $$OX$$) рівняння має вид $$x=x_1$$, що слідує із $$x-x_1=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}(x_2-x_1)$$. Якщо $$y_1=y_2$$ (очевидно, що пряма перпендикулярна вісі $$OY$$), то рівняння набуває виду $$y=y_1$$, що слідує із $$y-y_1=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}(y_2-y_1)$$.

Рівняння пучка прямих

$$A_1x+B_1y+C_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0,$$
який утворюється при різних $$\lambda$$ і має своїм центром точку перетину прямих $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ і $$A_2x+B_2y+C_2=0$$.

Нормальне рівняння прямої $$Ax+By+C=0$$

$$\frac{Ax+By+C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}=0.$$
Знак радикала вибирається із умови, що $$\mu C<0$$, де $$\mu =\frac{1}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}$$. Якщо ввести позначення:

$$\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cos\phi,\;\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sin\phi,\; \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}=p>0,$$
то розглядуване рівняння записується

$$x\cos\phi+y\sin\phi-p=0$$.
Для знаходження відстані $$d$$ точки $$M(x_0;\;y_0)$$ до прямої $$Ax+By+C=0$$ застосовується формула
$$d=\left | \frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}} \right |$$.

Рівняння бісектрис кутів між прямими $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ і $$A_2x+B_2y+C_2=0$$

$$\frac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}\pm\frac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}=0$$
Якщо прямі перетинаються (при $$\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}$$), то кут $$\phi$$ між ними визначається формулою
$$\textup{tg}\,\phi=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2},$$
причому $$\phi$$ – кут, який “замітається” першою прямою при її повороті навколо точки перетину проти годинникової стрілки до повного співпадання з другою прямою. Якщо необхідно знайти гострий кут із двох суміжних кутів, які утворюються при перетині двох прямих, то застосовується формула
$$\textup{tg}\,\phi=\left |\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2} \right |.$$

Умова паралельності прямих

$$k_1=k_2$$
або
$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}$$

Умова перпендикулярності прямих

$$k_1=-\frac{1}{k_2}$$
або
$$A_1A_2+B_1B_2=0.$$

Поделиться

Больше материалов

Материалы по теме

Предыдущий материалПрогрессии. Онлайн тест
Следующий материалЗадание 15 (подобие треугольников)