ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 3 варіанту (3 частина)

Часть третья. Вариант 3

Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий третьей части третьего варианта ГИА (ДПА) по математике для девятого класса за 2012 год.

Третья часть аттестационной работы состоит из трех заданий открытой формы с развернутым ответом. Решение заданий 3.1 — 3.3 должно содержать объяснения. В нем необходимо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. При необходимости решения иллюстрируются схемами, графиками, таблицами.

Задание 3.1

Катер проплыл 22 км по течению реки и 36 км против течения за время, необходимое для того, чтобы проплыть 6 км на плоту. Найти скорость течения, если собственная скорость катера равна 20 км/час.

Решение:

Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/час. Систематизируем данные задачи в виде таблицы.

Движение$$s$$, км$$v$$, км/час$$t$$, час
По течению$$22$$$$20+x$$$$\frac{22}{20+x}$$
Против течения$$36$$$$20-x$$$$\frac{36}{20-x}$$

Учитывая тот факт, что на плоту можно проплыть 6 км за $$\frac{6}{x}$$ часов, составим уравнение:

$$\frac{22}{20+x}+\frac{36}{20-x}=\frac{6}{x},\;0<x<20$$

Приведем к общему знаменателю

$$\frac{22x(20-x)+36x(20+x)-6(20+x)(20-x)}{x(20+x)(20-x)}=0$$

Рассмотрим отдельно числитель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

$$20x^2+1160x-2400=0$$

$$x^2+58x-120=0$$

По теореме Виета

$$x_1=-60$$ (посторонний корень), $$x_2=2$$.

Значит, скорость течения реки равна 2 км/час.

Ответ: 2 км/час.

Задание 3.2

Составить квадратное уравнение, корни которого на три больше соответствующих корней уравнения $$x^2-2x-7=0.$$

Решение:

Так как оба корня нового квадратного уравнения должны быть на три больше корней исходного квадратного уравнения, то $$y=x+3$$. Подставим $$x=y-3$$ в исходное уравнение

$$(y-3)^2-2(y-3)-7=0$$

Применим формулу квадрата разности, раскроем скобки и приведем подобные

$$y^2+9-6y-2y+6-7=0\Rightarrow y^2-8y+8=0$$

Ответ: $$y^2-8y+8=0$$

Задание 3.3

Стороны треугольника равны 3 см и 5 см, а угол между ними $$120^{\circ}$$. Найти площадь подобного ему треугольника, периметр которого равен 30 см.

Решение:

Пусть $$ABC$$ — исходный треугольник, $$DEF$$ — подобный ему треугольник. $$AB=3$$ см, $$BC=5$$ см, $$\angle B=120^{\circ}$$.

Найдем третью сторону треугольника $$ABC$$ по теореме косинусов

$$AC^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\cos120^{\circ}=9+25-30\cdot\left (-\frac{1}{2} \right )=49\Rightarrow AC=7$$ см.

При нахождении косинуса 120 градусов воспользовались таблицей значений тригонометрических функций некоторых углов.

Найдем периметр треугольника $$ABC$$

$$P_{ABC}=3+5+7=15$$ см

Так как периметр подобного треугольника равен 30 см, то коэффициент подобия равен

$$k=\frac{P_{DEF}}{P_{ABC}}=\frac{30}{15}=2$$.

Найдем площадь треугольника $$ABC$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\angle B\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$$ см2.

$$\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=k^2=4$$

Тогда $$S_{DEF}=4\cdot S_{ABC}=15\sqrt{3}$$ см2.

Ответ:$$15\sqrt{3}$$ см2.

Источник: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. — 2-ге вид., доопрац. — К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012. — 112 с.: іл.
ISBN 978-617-626-110-0.

Поделиться

Обратите внимание

ДПА 2012 з математики. 9 клас. Розв’язок 1 варіанта

Предлагаем Вашему вниманию решение 1 варианта государственной итоговой аттестации (ГИА) или на украинском державної підсумкової атестації (ДПА) по математике для 9 класса...

ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 2 варіанту (2 частина)

Часть вторая. Вариант 2. Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий второй части второго варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике...

ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 2 варіанту (3 частина)

Часть третья. Вариант 2 Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий третьей части второго варианта ГИА (ДПА) по математике для...

ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 2 варіанту (4 частина)

Часть четвертая. Вариант 2 Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий четвертой части второго варианта ГИА (ДПА) по математике для...

ГИА (ДПА) 2012. 9 класс. Часть вторая. Вариант 3

Часть вторая. Вариант 3 Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий второй части третьего варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике...

Материалы по теме

ДПА 2012. 9 класс. Вариант 7. Задание 3.1

Продолжаем готовиться к ДПА и ЗНО по математике. Текстовая задача на перевозку...

ДПА 2012. 9 класс. Вариант 4. Задание 3.1

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию...

ГИА 2012. 4 класс. Контрольная работа №3 (В.1)

В рамках подготовки учеников 4 класса к ГИА (ДПА) по математике предлагаем...

ДПА 2012. 4 класс. Контрольная работа №2 (В.1)

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) по математике для учащихся 4 класса...
Предыдущий материалЗадание 26 (логарифмы)
Следующий материалЗадание 27 (тригонометрия)