ГИА (ДПА) 2012. 11 класс. Часть третья. Вариант 1

Часть третья. Вариант 1

Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий третьей части первого варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике для одиннадцатого класса.

Третья часть аттестационной работы состоит из трех заданий открытой формы с развернутым ответом. Решение заданий 3.1 — 3.3 должно содержать объяснения. В нем необходимо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. При необходимости решения иллюстрируются схемами, графиками, таблицами.

Задание 3.1

Вычислить значение выражения $$\log_2\left ( \log_3 \cos\frac{\pi}{6}-\log_3 \sin\frac{\pi}{6}\right )$$.

Решение:

Воспользуемся свойствами логарифмов, определением и таблицей значений некоторых углов тригонометрических функций.

$$\log_2\log_3\textup{ctg}\,\frac{\pi}{6}=\log_2\log_3\sqrt{3}=\log_2\frac{1}{2}=-1$$

Ответ: $$-1$$.

Задание 3.2

Найти координаты точки на прямой $$y=2-7x$$, если разность квадратов абсциссы и ординаты этой точки является наибольшей.

Решение:

Пусть $$A(x;y)$$ — искомая точка. Рассмотрим функцию разности квадратов абсциссы и ординаты этой точки $$f(x;y)=x^2-y^2$$.

По условию $$y=2-7x$$. Подставим в функцию $$f(x;y)$$ и получим функцию, зависящую только от одной переменной $$x$$.

$$f(x)=x^2-(2-7x)^2$$

Преобразуем полученную функцию, используя формулу квадрат разности и приведение подобных слагаемых

$$f(x)=x^2-(4+49x^2-28x)=x^2-4-49x^2+28x=-48x^2+28x-4$$

Так как по условию разность квадратов абсциссы и ординаты точки $$A(x;y)$$ должна быть наибольшей, то найдем наибольшее значение функции $$f(x)$$. Для этого найдем производную данной функции.

$${f}'(x)=-96x+28$$

Найдем значения переменной, в которых производная равна нулю $${f}'(x)=0$$.

$$-96x+28=0\Rightarrow x=\frac{7}{24}$$.

При $$x=\frac{7}{24}$$ функция $$f(x)$$ принимает наибольшее значение. Подставим его в уравнение прямой: $$y\left (\frac{7}{24} \right )=2-\frac{49}{24}=\frac{48-49}{24}=-\frac{1}{24}$$.

$$A\left (\frac{7}{24};-\frac{1}{24} \right )$$ — искомая точка.

Ответ: $$A\left (\frac{7}{24};-\frac{1}{24} \right )$$.

Задание 3.3

Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к площади боковой поверхности.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса. Получили равнобедренный треугольник $$ASB$$. По условию высота конуса $$SO$$ (она же высота треугольника $$ASB$$) равна диаметру основания конуса $$AB$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник из треугольника $$SOA:\;\angle SOA=90^{\circ}.$$ Пусть $$AB=SO=x$$, тогда $$AO=\frac{x}{2}$$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $$AS$$, которая является боковой стороной в треугольнике $$ASB$$.

$$AS=\sqrt{x^2+\frac{x^2}{4}}=\sqrt{\frac{5x^2}{4}}=\frac{x\sqrt{5}}{2}$$.

Площадь основания конуса вычисляется как площадь круга

$$S_1=\pi R^2=\pi AO^2=\frac{x^2\pi}{4}$$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле

$$S_2=\pi\cdot R\cdot l=\pi \cdot AO\cdot AS=\pi\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{x\sqrt{5}}{2}=\frac{\pi x^2\sqrt{5}}{4}$$.

Найдем отношение площади основания конуса к площади его боковой поверхности

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{\pi x^2}{4}}{\frac{\pi x^2\sqrt{5}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{5}}{5}$$.

Источник: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 11 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. — К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012.

Поделиться

Обратите внимание

ГИА (ДПА) 2012. 11 класс. Часть вторая. Вариант 1

Часть вторая. Вариант 1 Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий второй части первого варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике...

ГИА (ДПА) 2012. 11 класс. Часть четвертая. Вариант 1

Часть четвертая. Вариант 1 Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий четвертой части первого варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике...

Материалы по теме

ДПА 2012. 9 класс. Вариант 7. Задание 3.1

Продолжаем готовиться к ДПА и ЗНО по математике. Текстовая задача на перевозку...

ДПА 2012. 9 класс. Вариант 4. Задание 3.1

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию...

ГИА 2012. 4 класс. Контрольная работа №3 (В.1)

В рамках подготовки учеников 4 класса к ГИА (ДПА) по математике предлагаем...

ДПА 2012. 4 класс. Контрольная работа №2 (В.1)

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) по математике для учащихся 4 класса...