Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів

Векторним добутком векторів $$\vec{a}$$ і $$\vec{b}$$ називається вектор $$\vec{b}$$, який задовольняє наступним умовам:

  1. $$|\vec{c}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\sin\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right ),\;\sin\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\sin\phi\geqslant 0, \;0\leqslant \phi\leqslant \pi$$
  2. $$\vec{c}\perp\vec{a},\;\vec{c}\perp\vec{b}$$
  3. $$\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}$$ утворюють праву трійку векторів (див. рисунок)

Позначається: $$\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b},\;\vec{c}=[\vec{a},\vec{b}]$$

Властивості векторного добутку:

  1. $$\left [\vec{b},\vec{a} \right ]=-\left [ \vec{a},\vec{b} \right ]$$.
  2. $$\left [ \vec{a},\vec{b} \right ]=0$$, якщо $$\vec{a}\parallel \vec{b}$$ або $$\vec{a}=0$$, або $$\vec{b}=0$$.
  3. $$\left (\lambda\vec{a} \right )\times \vec{b}=\vec{a}\times\left (\lambda\vec{b} \right )=\lambda\left (\vec{a}\times\vec{b} \right )$$.
  4. $$\vec{a} \times \left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$$.
  5. $$\vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ x_{a} &y_{a} & z_{a}\\ x_{b} &y_{b} & z_{b} \end{vmatrix}$$, якщо $$\vec{a}=\left \{ x_{a}, y_{a} , z_{a} \right \},\;\vec{b}=\left \{ x_{b},y_{b}, z_{b} \right \}$$.
  6. Геометричний смисл векторного добутку полягає в тому, що його модуль чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах $$\vec{a}$$ і $$\vec{b}$$.

Приклад. Знайти $$\vec{a}\times\vec{b}$$, якщо $$\vec{a}=\left \{ 2;5;1 \right \},\;\vec{b}=\left \{ 1;2;-3 \right \}$$

Розв’язування.

Знайдемо визначник третього порядку:

$$\vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ 2 &5 & 1\\ 1 &2 & -3 \end{vmatrix}=\vec{i}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -3 \end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-17\vec{i}+7\vec{j}-\vec{k}$$

Приклад. Обчислити площу трикутника з вершинами в точках $$A(2;2;2),\;B(4;0;3),\;C(0;1;0)$$.

Розв’язування.

$$\overrightarrow{AC}=\left \{ -2;-1;-2 \right \},\;\overrightarrow{AB}=\left \{ 2;-2;1 \right \}$$

$$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ -2 &-1 & -2\\ 2 &-2 & 1 \end{vmatrix}=-5\vec{i}-2\vec{j}+6\vec{k}$$

$$|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-5)^2+(-2)^2+6^2}=\sqrt{65}$$

$$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}|=\frac{\sqrt{65}}{2}$$

Приклад. Довести, що вектори $$\vec{a}(7;-3;2),\;\vec{b}(3;-7;8),\;\vec{c}(1;-1;1)$$ компланарні.

Розв’язування.

Знайдемо визначник з цих векторів, і, якщо він дорівнює нулю, то вектори компланарні
$$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\ 3 & -7 & 8\\ 7 & -3& 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0& -4 & 5\\ 0& 4& -5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -4 & 5\\ 4& -5 \end{vmatrix}=0$$

Приклад. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах $$\vec{a}+3\vec{b},\;3\vec{a}+\vec{b}$$, якщо $$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,\;\left (\widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\frac{\pi}{6}.$$

Розв’язування.

$$\left (\vec{a}+3\vec{b} \right )\times\left (3\vec{a}+\vec{b} \right )=3\vec{a}\times\vec{a}+\vec{a}\times\vec{b}+9\vec{b}\times\vec{a}+3\vec{b}\times\vec{b}=$$

$$=-\left ( \vec{b}\times\vec{a} \right )+9\left (\vec{b}\times\vec{a} \right )=8\left (\vec{b}\times\vec{a} \right )$$

$$S=8\left |\vec{b}\times\vec{a} \right |=8|\vec{b}|\times|\vec{a}|\sin\left (\widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=8\cdot1\cdot\sin\frac{\pi}{6}=8\cdot\frac{1}{2}=4.$$

Поделиться

Больше материалов

Материалы по теме