Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів

Векторним добутком векторів $$\vec{a}$$ і $$\vec{b}$$ називається вектор $$\vec{b}$$, який задовольняє наступним умовам:

  1. $$|\vec{c}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\sin\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right ),\;\sin\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\sin\phi\geqslant 0, \;0\leqslant \phi\leqslant \pi$$
  2. $$\vec{c}\perp\vec{a},\;\vec{c}\perp\vec{b}$$
  3. $$\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}$$ утворюють праву трійку векторів (див. рисунок)

Позначається: $$\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b},\;\vec{c}=[\vec{a},\vec{b}]$$

Властивості векторного добутку:

  1. $$\left [\vec{b},\vec{a} \right ]=-\left [ \vec{a},\vec{b} \right ]$$.
  2. $$\left [ \vec{a},\vec{b} \right ]=0$$, якщо $$\vec{a}\parallel \vec{b}$$ або $$\vec{a}=0$$, або $$\vec{b}=0$$.
  3. $$\left (\lambda\vec{a} \right )\times \vec{b}=\vec{a}\times\left (\lambda\vec{b} \right )=\lambda\left (\vec{a}\times\vec{b} \right )$$.
  4. $$\vec{a} \times \left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$$.
  5. $$\vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ x_{a} &y_{a} & z_{a}\\ x_{b} &y_{b} & z_{b} \end{vmatrix}$$, якщо $$\vec{a}=\left \{ x_{a}, y_{a} , z_{a} \right \},\;\vec{b}=\left \{ x_{b},y_{b}, z_{b} \right \}$$.
  6. Геометричний смисл векторного добутку полягає в тому, що його модуль чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах $$\vec{a}$$ і $$\vec{b}$$.

Приклад. Знайти $$\vec{a}\times\vec{b}$$, якщо $$\vec{a}=\left \{ 2;5;1 \right \},\;\vec{b}=\left \{ 1;2;-3 \right \}$$

Розв’язування.

Знайдемо визначник третього порядку:

$$\vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ 2 &5 & 1\\ 1 &2 & -3 \end{vmatrix}=\vec{i}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -3 \end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-17\vec{i}+7\vec{j}-\vec{k}$$

Приклад. Обчислити площу трикутника з вершинами в точках $$A(2;2;2),\;B(4;0;3),\;C(0;1;0)$$.

Розв’язування.

$$\overrightarrow{AC}=\left \{ -2;-1;-2 \right \},\;\overrightarrow{AB}=\left \{ 2;-2;1 \right \}$$

$$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ -2 &-1 & -2\\ 2 &-2 & 1 \end{vmatrix}=-5\vec{i}-2\vec{j}+6\vec{k}$$

$$|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-5)^2+(-2)^2+6^2}=\sqrt{65}$$

$$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}|=\frac{\sqrt{65}}{2}$$

Приклад. Довести, що вектори $$\vec{a}(7;-3;2),\;\vec{b}(3;-7;8),\;\vec{c}(1;-1;1)$$ компланарні.

Розв’язування.

Знайдемо визначник з цих векторів, і, якщо він дорівнює нулю, то вектори компланарні
$$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\ 3 & -7 & 8\\ 7 & -3& 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0& -4 & 5\\ 0& 4& -5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -4 & 5\\ 4& -5 \end{vmatrix}=0$$

Приклад. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах $$\vec{a}+3\vec{b},\;3\vec{a}+\vec{b}$$, якщо $$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,\;\left (\widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\frac{\pi}{6}.$$

Розв’язування.

$$\left (\vec{a}+3\vec{b} \right )\times\left (3\vec{a}+\vec{b} \right )=3\vec{a}\times\vec{a}+\vec{a}\times\vec{b}+9\vec{b}\times\vec{a}+3\vec{b}\times\vec{b}=$$

$$=-\left ( \vec{b}\times\vec{a} \right )+9\left (\vec{b}\times\vec{a} \right )=8\left (\vec{b}\times\vec{a} \right )$$

$$S=8\left |\vec{b}\times\vec{a} \right |=8|\vec{b}|\times|\vec{a}|\sin\left (\widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=8\cdot1\cdot\sin\frac{\pi}{6}=8\cdot\frac{1}{2}=4.$$

Поделиться

Больше материалов

Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи чотирьох лінійних рівнянь с чотирма невідомими. Ідея...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії другого порядку має вид $$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0,$$ де коефіцієнти...

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на...

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування прямих на площині. Розглянемо деякі співвідношення, які...

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець...

Материалы по теме

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 9

Решение 9 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 23 задание

В прямоугольной системе координат на плоскости даны векторы $$vec{a}(3;4)$$ и $$vec{b}(-2;2).$$ Каждому...

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 15 задание

На координатной плоскости $$xy$$ изображена окружность, центр которой совпадает с началом координат...

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 22 задание

Задание 22 У прямокутній системі координат на площині...

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається...

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок)....

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у...

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді