Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів

Мішаним добутком векторів $$\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}$$ називається число, що дорівнює скалярному добутку вектора $$\vec{a}»$$ на вектор, який дорівнює векторному добутку векторів $$\vec{b}$$ і $$\vec{c}$$.

Позначається $$\vec{a}\cdot\vec{b}\cdot\vec{c}$$ або $$\left (\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c} \right )$$.

Мішаний добуток чисельно (по модулю) дорівнює об’ємові паралелепіпеда, побудованого на векторах $$\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}$$ (див. рисунок).

Властивості мішаного добутку
1. Мішаний добуток дорівнює нулю, якщо:

  • а) принаймні, один із векторів дорівнює нулю;
  • б) два із векторів колінеарні;
  • в) вектори компланарні.

2. $$\left ( \vec{a}\times\vec{b} \right )\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\left ( \vec{b}\times\vec{c} \right ).$$

3. $$\left ( \vec{a},\vec{b},\vec{c} \right )=\left ( \vec{b},\vec{c},\vec{a} \right )=\left ( \vec{c},\vec{a},\vec{b} \right )=-\left ( \vec{b},\vec{a},\vec{c} \right )=-\left ( \vec{c},\vec{b},\vec{a} \right )=-\left ( \vec{a},\vec{c},\vec{b} \right ).$$

4. $$\left ( \lambda\vec{a_{1}}+\mu\vec{a_{2}},\vec{b},\vec{c} \right )=\lambda\left ( \vec{a_{1}},\vec{b},\vec{c} \right )+\mu\left ( \vec{a_{2}},\vec{b},\vec{c} \right ).$$

5. Об’єм трикутної піраміди, утвореної векторами $$\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}$$, дорівнює $$\frac{1}{6}\left | (\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}) \right |.$$

6. Якщо $$\vec{a}(x_{a}, y_{a}, z_{a}),\;\vec{b}(x_{b}, y_{b}, z_{b}),\;\vec{c}(x_{c}, y_{c}, z_{c})$$, то

$$(\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c})=\begin{vmatrix} x_{a} & y_{a} &z_{a} \\ x_{b} & y_{b} &z_{b}\\ x_{c} & y_{c} &z_{c} \end{vmatrix}.$$

Приклад. Довести, що точки $$A(5; 7; 2),\;B(3; 1; -1),\;C(9; 4; -4),\;D(1; 5; 0)$$ лежать в одній площині.

Розв’язування.

Знайдемо вектори $$\overrightarrow{AB}(-2; -6; 1),\;\overrightarrow{AC}(4; -3; 2),\;\overrightarrow{AD}(-4; -2; 2).$$

Знайдемо мішаний добуток цих векторів

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix} -2 & -6 & 1\\ 4 & -3 &-2 \\ -4& -2 & 2 \end{vmatrix}=0.$$

Визначник дорівнює нулю. Отже, отримані вектори компланарні, тому точки A, B, C, D належать одній і тій же площині.

Приклад. Знайти об’єм піраміди і довжину висоти, опущеної на грань BCD, якщо вершини розташовані в точках A(0; 0; 0),  B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Розв’язування.

Знайдемо вектори $$\overrightarrow{BA}(-2; -3; -4),\;\overrightarrow{BD}(1; 4; 3),\;\overrightarrow{BC}(4; -1; -2).$$

$$V=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} -2 & -3 & -4\\ 1& 4 &-3 \\ 4& -1 & -2 \end{vmatrix}=20.$$

Щоб знайти довжину висоти, необхідно спочатку знайти площу основи BCD.

$$\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BC}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ 1 & 4& -3\\ 4 & -1& -2 \end{vmatrix}=-11\vec{i}-10\vec{j}-17\vec{k}$$

$$\left |\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BC} \right |=\sqrt{121+100+289}=\sqrt{510}$$

$$V=\frac{Sh}{3}\Rightarrow h=\frac{3V}{S}=\frac{120}{\sqrt{510}}=\frac{4\sqrt{510}}{17}$$.

Поделиться

Больше материалов

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається вектор $$vec{b}$$, який задовольняє наступним умовам:

Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи чотирьох лінійних рівнянь с чотирма невідомими. Ідея...

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у будь-якій системі координат повинно характеризуватись однозначно. Поняття системи координат являє...

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець...

Материалы по теме

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 9

Решение 9 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 23 задание

В прямоугольной системе координат на плоскости даны векторы $$vec{a}(3;4)$$ и $$vec{b}(-2;2).$$ Каждому...

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 15 задание

На координатной плоскости $$xy$$ изображена окружность, центр которой совпадает с началом координат...

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 22 задание

Задание 22 У прямокутній системі координат на площині...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок)....

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у...

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді