Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів

Мішаним добутком векторів $$\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}$$ називається число, що дорівнює скалярному добутку вектора $$\vec{a}»$$ на вектор, який дорівнює векторному добутку векторів $$\vec{b}$$ і $$\vec{c}$$.

Позначається $$\vec{a}\cdot\vec{b}\cdot\vec{c}$$ або $$\left (\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c} \right )$$.

Мішаний добуток чисельно (по модулю) дорівнює об’ємові паралелепіпеда, побудованого на векторах $$\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}$$ (див. рисунок).

Властивості мішаного добутку
1. Мішаний добуток дорівнює нулю, якщо:

  • а) принаймні, один із векторів дорівнює нулю;
  • б) два із векторів колінеарні;
  • в) вектори компланарні.

2. $$\left ( \vec{a}\times\vec{b} \right )\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\left ( \vec{b}\times\vec{c} \right ).$$

3. $$\left ( \vec{a},\vec{b},\vec{c} \right )=\left ( \vec{b},\vec{c},\vec{a} \right )=\left ( \vec{c},\vec{a},\vec{b} \right )=-\left ( \vec{b},\vec{a},\vec{c} \right )=-\left ( \vec{c},\vec{b},\vec{a} \right )=-\left ( \vec{a},\vec{c},\vec{b} \right ).$$

4. $$\left ( \lambda\vec{a_{1}}+\mu\vec{a_{2}},\vec{b},\vec{c} \right )=\lambda\left ( \vec{a_{1}},\vec{b},\vec{c} \right )+\mu\left ( \vec{a_{2}},\vec{b},\vec{c} \right ).$$

5. Об’єм трикутної піраміди, утвореної векторами $$\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}$$, дорівнює $$\frac{1}{6}\left | (\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}) \right |.$$

6. Якщо $$\vec{a}(x_{a}, y_{a}, z_{a}),\;\vec{b}(x_{b}, y_{b}, z_{b}),\;\vec{c}(x_{c}, y_{c}, z_{c})$$, то

$$(\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c})=\begin{vmatrix} x_{a} & y_{a} &z_{a} \\ x_{b} & y_{b} &z_{b}\\ x_{c} & y_{c} &z_{c} \end{vmatrix}.$$

Приклад. Довести, що точки $$A(5; 7; 2),\;B(3; 1; -1),\;C(9; 4; -4),\;D(1; 5; 0)$$ лежать в одній площині.

Розв’язування.

Знайдемо вектори $$\overrightarrow{AB}(-2; -6; 1),\;\overrightarrow{AC}(4; -3; 2),\;\overrightarrow{AD}(-4; -2; 2).$$

Знайдемо мішаний добуток цих векторів

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix} -2 & -6 & 1\\ 4 & -3 &-2 \\ -4& -2 & 2 \end{vmatrix}=0.$$

Визначник дорівнює нулю. Отже, отримані вектори компланарні, тому точки A, B, C, D належать одній і тій же площині.

Приклад. Знайти об’єм піраміди і довжину висоти, опущеної на грань BCD, якщо вершини розташовані в точках A(0; 0; 0),  B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Розв’язування.

Знайдемо вектори $$\overrightarrow{BA}(-2; -3; -4),\;\overrightarrow{BD}(1; 4; 3),\;\overrightarrow{BC}(4; -1; -2).$$

$$V=\frac{1}{6}\begin{vmatrix} -2 & -3 & -4\\ 1& 4 &-3 \\ 4& -1 & -2 \end{vmatrix}=20.$$

Щоб знайти довжину висоти, необхідно спочатку знайти площу основи BCD.

$$\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BC}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ 1 & 4& -3\\ 4 & -1& -2 \end{vmatrix}=-11\vec{i}-10\vec{j}-17\vec{k}$$

$$\left |\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BC} \right |=\sqrt{121+100+289}=\sqrt{510}$$

$$V=\frac{Sh}{3}\Rightarrow h=\frac{3V}{S}=\frac{120}{\sqrt{510}}=\frac{4\sqrt{510}}{17}$$.

Поделиться

Больше материалов

Материалы по теме