Тригонометрия

Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение

Для разных углов:

Сумма синусов есть удвоенное произведение синуса полусуммы на косинус полуразности:

$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

Разность синусов есть удвоенное произведение синуса полуразности на косинус полусуммы:

$$\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$$

Сумма косинусов есть удвоенное произведение косинуса полусуммы на косинус полуразности:

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

Разность синусов есть удвоенное произведение синуса полусуммы на синус полуразности, взятое со знаком минус:

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$

Сумма тангенсов есть отношение синуса суммы к произведению косинусов:

$$\text{tg} x+\text{tg} y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}$$

Разность тангенсов есть отношение синуса разности к произведению косинусов:

$$\text{tg} x-\text{tg} y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}$$

Сумма котангенсов есть отношение синуса суммы к произведению синусов:

$$\text{ctg} x+\text{ctg} y=\frac{\sin(y+x)}{\sin x\sin y}$$

Разность котангенсов есть отношение синуса разности первого угла от второго к произведению синусов:

$$\text{ctg} x-\text{ctg} y=\frac{\sin(y-x)}{\sin x\sin y}$$

Для одного угла:

Сумма косинуса и синуса:

$$\cos\alpha+\sin\alpha=\sqrt{2}\cos\left (\frac{\pi}{4}-\alpha \right )$$

Разность косинуса и синуса:

$$\cos\alpha-\sin\alpha=\sqrt{2}\sin\left (\frac{\pi}{4}-\alpha \right )$$

Сумма тангенса и котангенса:

$$\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{2}{\sin2\alpha}$$

С коэффициентами $$a$$ и $$b:$$

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi),\;\text{tg}\phi=\frac{b}{a}$$

$$b+a\text{tg}x=\frac{a\sin x+b\cos x}{\cos x}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)}{\cos x}$$

$$a+b\text{ctg}x=\frac{a\sin x+b\cos x}{\sin x}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)}{\sin x}$$

$$\sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},$$ $$\cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!