Геометрия

Задание 41 (Роганін. Тест 4. №35)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем геометрическую задачу, взятую из пособия «Алгебра і початки аналізу: навч. посіб. / О.М. Роганін. — К. — Х.: Веста, 2011. — 256 с. — (Серія «Ґрунтовна підготовка до ЗНО і ДПА за 50 тижнів»).
ISBN 978-966-08-5721-6″

Задача

Відрізок KM довжиною 8.25 см сполучає сторони АС і ВС трикутника АВС, паралельний стороні АВ і проходить через центр вписаного в трикутник кола. Знайдіть периметр (у см) чотирикутника АВМК, якщо АВ = 11 см.

Решение:

Роганін. Тест 4 №35Пусть $$O$$ — центр вписанной в треугольник окружности, $$D, E$$ и $$F$$ — точки касания окружности соответственно сторон $$AB, AC$$ и $$BC$$.

Периметр четырехугольника $$ABMK$$ — сумма всех его сторон

$$P_{ABMK}=AB+BM+KM+AK=$$

Подставим известные величины и выразим $$BM$$ и $$AK$$ соответственно через $$BM, MF$$ и $$AE, KE$$

$$=11+(BF-MF)+8.25+(AE-KE)=$$

Так как $$BF = BD$$ и $$AE = AD,$$ то

$$=19.25+(BD-MF)+(AD-KE)=$$

Перегруппируем

$$=19.25+(AD+BD)-(MF+KE)=$$

$$=19.25+AB-(MF+KE)=30.25-(MF+KE)=$$

Из точек $$K$$ и $$M$$ опустим перпендикуляры на сторону $$AB$$, т.е. $$KG\perp AB,\;MH\perp AB.$$

$$\triangle OKE=\triangle KAG,\;\triangle OMF=\triangle MBH:$$ $$KE=AG,\;MF=BH$$

$$=30.25-(AG+BH)=30.25-(AB-KM)=30.25-(11-8.25)=27.5$$

Получили $$P_{ABMK}=27.5$$ (см)

Ответ: $$27.5$$ см.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!