В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике рассмотрим задание на преобразование логарифмических выражений.
Задание
Найти $$\log_{ab}b,$$ если $$\log_{ab}a=9.$$
Решение:
Прежде предлагаем Вам вспомнить свойства логарифмов.
Преобразуем известное выражение
$$\log_{ab}a=9$$
$$\frac{1}{\log_{a}ab}=9$$
$$\frac{1}{\log_{a}a+\log_{a}b}=9$$
$$\frac{1}{1+\log_{a}b}=9$$
$$1+\log_{a}b=\frac{1}{9}$$
$$\log_{a}b=\frac{1}{9}-1$$
$$\log_{a}b=-\frac{8}{9}$$
$$\log_{b}a=-\frac{9}{8}$$
Теперь преобразуем искомое выражение
$$\log_{ab}b=\frac{1}{\log_{b}ab}=\frac{1}{\log_{b}a+1}=$$
Подставим $$\log_{b}a=-\frac{9}{8}$$ и получим
$$\log_{ab}b=\frac{1}{-\frac{9}{8}+1}=1:(-\frac{1}{8})=-8$$
Ответ: $$-8.$$